בגרות – מכונית בחמישה נתיבים מעגליים

נתוני השאלה

עיר מתכננת מעגל תנועה אופקי עם חמישה נתיבים מעגליים סביב מרכז משותף, ברדיוסים R (מטרים): 16, 20, 24, 28, 32 (נתיב 1 עד נתיב 5). מכונית נוסעת בנתיב 1 בתנועה מעגלית אחידה.

סעיף א - הכוחות הפועלים על המכונית

שני כוחות פועלים על המכונית: משקלה \( mg \) (כלפי מטה) וכוח הנורמל \( N \) מהכביש (כלפי מעלה). מכיוון שהכביש אופקי, אין להם רכיב אופקי - הכוח האופקי היחיד הוא כוח החיכוך הסטטי \( f_s \) בין הצמיגים לכביש, המכוון אל מרכז המעגל (זהו הכוח הצנטריפטלי).

סעיף ב - משוואות הכוחות

בציר האנכי (שיווי משקל):

$$ N - mg = 0 \quad\Rightarrow\quad N = mg $$

בציר הרדיאלי (לכיוון המרכז):

$$ f_s = \frac{mv^2}{R} $$

סעיף ג - ביטוי \( v_{max}^2 \) כפונקציה של R

המהירות המקסימלית מתקבלת כאשר כוח החיכוך מגיע לערכו המקסימלי \( f_s=\mu_s N=\mu_s mg \):

$$ \mu_s mg = \frac{mv_{max}^2}{R} $$

מצמצמים את המסה m ומבודדים:

$$ v_{max}^2 = \mu_s g\cdot R $$

כלומר \( v_{max}^2 \) הוא פונקציה ליניארית של R, שעוברת דרך הראשית, עם שיפוע \( \mu_s g \).

סעיף ד - גרף הדיאגרמת פיזור

מציבים את נתוני הטבלה: (R, \( v_{max}^2 \)) = (16,128), (20,160), (24,192), (28,224), (32,256). הנקודות מסתדרות על קו ישר העובר דרך הראשית (כל הערכים מקיימים \( v_{max}^2/R=8 \)), ומוסיפים קו מגמה ליניארי דרך הנקודות והראשית.

סעיף ה - שיפוע קו המגמה ומקדם החיכוך

1. מציבים את שתי הנקודות על קו המגמה (הישר \( v_{max}^2=8R \)) ב- R=18m ו- R=36m:

$$ v_{max}^2(18) = 8\cdot 18 = 144\,m^2/s^2 \qquad v_{max}^2(36) = 8\cdot 36 = 288\,m^2/s^2 $$

$$ \text{שיפוע} = \frac{288-144}{36-18} = \frac{144}{18} = 8\,m/s^2 $$

2. לפי סעיף ג, השיפוע שווה ל- \( \mu_s g \):

$$ \mu_s g = 8 \quad\Rightarrow\quad \mu_s = \frac{8}{g} = \frac{8}{10} = 0.8 $$

סעיף ו - זמן הקפה בנתיבים השונים

חמש מכוניות נוסעות כל אחת בנתיב אחר, כל אחת במהירות המקסימלית שלה. זמן הקפה מלאה:

$$ T = \frac{2\pi R}{v_{max}} = \frac{2\pi R}{\sqrt{\mu_s g R}} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{\mu_s g}} $$

מכיוון ש- T עולה עם \( \sqrt{R} \), ככל שהרדיוס גדול יותר כך זמן ההקפה ארוך יותר. לכן הנתיב הפנימי ביותר (נתיב 1, הרדיוס הקטן ביותר) הוא זה שבו זמן ההקפה קצר ביותר.

בדיקה מספרית: נתיב 1 (R=16, v=11.31): \( T=2\pi\cdot16/11.31\approx8.9\,s \). נתיב 5 (R=32, v=16): \( T=2\pi\cdot32/16\approx12.6\,s \) - אכן ארוך יותר.

התשובה הנכונה: היגד 2 - המכונית בנתיב 1 (הפנימי ביותר) משלימה את ההקפה בפרק הזמן הקצר ביותר.