כסאות מסתובבים

כסאות מסתובבים - מטוטלת קונית מסביב לזרוע אופקית

עמוד אנכי מסתובב סביב צירו במהירות זוויתית קבועה ω. מזרוע אופקית היוצאת מראש העמוד תלוי חוט, ולקצה החוט קשורה משקולת. ככל שהעמוד מסתובב, המשקולת "נפתחת" החוצה ונעה במסלול מעגלי אופקי, כאשר החוט יוצר זווית β עם העמוד האנכי (תנועה זו נקראת "מטוטלת קונית").

מדוע המשקולת מתרחקת מהעמוד, למרות מהירות קבועה?

גם כאשר גודל המהירות הזוויתית ω קבוע (ואיתו, המהירות המשיקית של המשקולת), המשקולת עדיין נמצאת בתנועה מעגלית - ולכן כן קיימת תאוצה (ולכן כוח שקול), המכוונת תמיד כלפי מרכז המעגל (ציר הסיבוב). זהו בדיוק הכוח הרדיאלי הגורם למשקולת "להיפתח" החוצה מהעמוד עד לזווית β שבה מתקיים שיווי משקל בין הכוחות.

שלב 1 - פירוק הכוחות הפועלים על המשקולת

שני כוחות פועלים על המשקולת: משקלה (\( mg \), כלפי מטה) ומתיחות החוט (\( T \), לאורך החוט, בזווית β מהאנך). מפרקים את המתיחות לרכיבים:

$$ T\cos\beta = mg $$

$$ T\sin\beta = \frac{mv^2}{R}=m\omega^2 R $$

שלב 2 - הכוח השקול אינו אפס

מכיוון שהמשקולת נמצאת בתנועה מעגלית (אפילו במהירות זוויתית קבועה), הכוח השקול עליה אינו אפס - הוא שווה בדיוק לכוח המרכזי הדרוש לשמירה על המסלול המעגלי, ומכוון תמיד לכיוון ציר הסיבוב (כלומר, אופקית, פנימה לעבר העמוד).

שלב 3 - מציאת רדיוס המסלול

הרדיוס R (המרחק האופקי של המשקולת מהעמוד) תלוי הן באורך החוט/הזרוע והן בזווית β. אם ℓ הוא אורך החוט ו-a הוא אורך הזרוע האופקית, הרדיוס הכולל הוא:

$$ R = a + \ell\sin\beta $$

חילוק שתי משוואות הכוח (כדי לפטור מ-T) נותן קשר בין β לבין ω ו-R:

$$ \tan\beta = \frac{\omega^2 R}{g} $$

שלב 4 - מציאת הזווית עבור ערך תאוצה נתון

אם נדרש למצוא את הזווית β שעבורה גודל התאוצה הרדיאלית (או הכוח הרדיאלי ליחידת מסה) שווה בדיוק ל-g, פותרים את המשוואה:

$$ \omega^2 R = g \quad \Rightarrow \quad \tan\beta = 1 \quad \Rightarrow \quad \beta = 45° $$

שילוב נוסחת הרדיוס \( R=a+\ell\sin\beta \) עם התנאי הזה (בהצבת β הספציפי) מאפשר לפתור עבור aאו ℓ, בהתאם למבוקש בשאלה.