שני לווינים

השוואת שני לוויינים סביב אותו גוף מרכזי - חוק שלישי של קפלר

כאשר שני לוויינים (או ירחים) נעים במסלולים מעגליים שונים סביב אותו גוף מרכזי (כוכב לכת, למשל), ניתן להשוות בין זמני המחזור שלהם באמצעות חוק קפלר השלישי, מבלי לדעת את מסת הגוף המרכזי או את קבוע הכבידה במפורש.

גזירת חוק קפלר השלישי ממשוואת הכוח המרכזי

עבור מסלול מעגלי, כוח הכבידה מספק את הכוח המרכזי הדרוש לתנועה:

$$ \frac{GMm}{r^2}=\frac{4\pi^2 m r}{T^2} $$

סידור מחדש נותן את חוק קפלר השלישי:

$$ T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3 $$

כלומר, ריבוע זמן המחזור פרופורציוני לחזקה השלישית של רדיוס המסלול - כאשר קבוע הפרופורציה (\( \frac{4\pi^2}{GM} \)) זהה לכל הגופים המקיפים את אותו גוף מרכזי M.

השוואה בין שני מסלולים סביב אותו גוף מרכזי

מכיוון שהקבוע \( \frac{4\pi^2}{GM} \) זהה לשני הלוויינים (אותו גוף מרכזי), ניתן לכתוב יחס פשוט בין זמני המחזור לרדיוסים, ללא צורך לדעת את M או G בכלל:

$$ \frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{r_1^3}{r_2^3} $$

יחס זה שימושי מאוד: בהינתן יחס הרדיוסים בין שני מסלולים, ניתן למצוא ישירות את יחס זמני המחזור (ולהפך), ללא כל מידע נוסף על הגוף המרכזי.

שיטת פתרון

1. זהו שני הגופים הנעים סביב אותו גוף מרכזי, ואת רדיוסי מסלוליהם.
2. כתבו את היחס \( \frac{r_1}{r_2} \) (או ההפך) מהנתונים.
3. העלו את היחס בחזקה השלישית כדי לקבל את יחס ריבועי זמני המחזור.
4. הוציאו שורש כדי לקבל את יחס זמני המחזור עצמם, \( \frac{T_1}{T_2} \).

נקודה חשובה

חוק זה תקף רק כאשר משווים גופים המקיפים את אותו גוף מרכזי. אם משווים לוויינים המקיפים גופים מרכזיים שונים (למשל, לוויין סביב כדור הארץ מול לוויין סביב מאדים), הקבוע \( \frac{4\pi^2}{GM} \) שונה בין המקרים (תלוי במסת הגוף המרכזי הספציפי), ולכן לא ניתן להשתמש ביחס הפשוט - יש לחזור למשוואה המלאה ולהציב את מסת כל גוף מרכזי בנפרד.