מתקן ללא רצפה

מתקן ללא רצפה - חיכוך סטטי בתנועה מעגלית אנכית

מתקן שעשועים קלאסי: גליל גדול (רדיוס R) מסתובב סביב צירו האנכי, כשאדם עומד בתוכו, גבו צמוד לדופן הפנימית. לאחר שהגליל מגיע למהירות זוויתית מספקת, הרצפה מוסרת - האדם נשאר "דבוק" לדופן ואינו נופל, הודות לחיכוך סטטי בלבד.

שלב 1 - זיהוי הכוחות הפועלים על האדם

כאשר אין מגע בין רגלי האדם לרצפה, שלושה כוחות פועלים עליו:

• משקל (\( mg \)) - כלפי מטה.
• כוח נורמלי (\( N \)) - מהדופן, בכיוון אופקי (רדיאלי, פנימה - זהו הכוח המספק את הכוח המרכזי).
• כוח חיכוך סטטי (\( f_s \)) - מהדופן, בכיוון אנכי (לאורך הדופן, כלפי מעלה - זהו הכוח התומך במשקל האדם).

שלב 2 - משוואות ניוטון בשני הצירים

ציר אנכי (האדם אינו נע כלפי מעלה/מטה, שיווי משקל):

$$ f_s - mg = 0 \quad \Rightarrow \quad f_s = mg $$

ציר רדיאלי/אופקי (תנועה מעגלית, הכוח הנורמלי מספק את הכוח המרכזי):

$$ N = m\omega^2 R $$

שלב 3 - מציאת המהירות הזוויתית המינימלית

כוח החיכוך הסטטי מוגבל בערכו המקסימלי: \( f_s \leq \mu_s N \). בגבול המינימלי (בדיוק מספיק כדי למנוע נפילה), מתקיים שוויון:

$$ mg = \mu_s N = \mu_s m\omega^2 R $$

המסה m מצטמצמת משני צידי המשוואה - ומכאן:

$$ \omega_{min}=\sqrt{\frac{g}{\mu_s R}} $$

שלב 4 - מדוע התוצאה אינה תלויה במסת האדם

מכיוון שהמסה מצטמצמת לחלוטין מהמשוואה, המהירות הזוויתית המינימלית הנדרשת זהה לכל אדם, ללא קשר למשקלו - אדם כבד יותר גם זקוק לכוח חיכוך גדול יותר (כדי לתמוך במשקלו הגדול יותר) וגם "מקבל" כוח נורמלי (ולכן חיכוך מקסימלי אפשרי) גדול יותר באותה מהירות זוויתית - שני האפקטים מתקזזים בדיוק.

שלב 5 - חישוב כוח החיכוך במהירות זוויתית נתונה

כאשר נתונה מהירות זוויתית ספציפית (לא בהכרח המהירות המינימלית), כוח החיכוך הסטטי הנדרש נמצא ישירות מהמשוואה האנכית - הוא תמיד שווה למשקל האדם באותו רגע, ללא תלות בערך המדויק של ω (כל עוד ω מספיק גדולה כדי שלא להחליק):

$$ f_s = mg $$