מהירות זוויתית

מהירות זוויתית

מהירות זוויתית איננה אינטואיטיבית להבנה (בשונה ממהירות משיקית) ולא נשתמש במשוואות שימור אנרגיה ושימור תנע. נשתמש במהירות זו כאשר היא נתונה, למשל אם נתון הסל"ד (סיבובים לדקה).

בהדגמה הבאה נוכל לראות את ההבדל בין מהירות משיקית למהירות זוויתית. שני המעגלים הפנימיים הם בעלי אותה מהירות (קווית וזוויתית). כאשר כל המעגלים מימין הם בעלי מהירות קווית זהה וכל המעגלים משמאל הם בעלי מהירות זוויתית זהה.

בשונה ממהירות קווית או מהירות משיקית, גודל זה דורש משוואות חדשות, כך שבמקום נתונים כמו תנע קווי או אנרגית מהירות קווית, נשתמש קודם כל בקשר בין מהירות זוויתית למהירות קווית ע"י:

$$ v=\omega R $$

ובעזרתו נקשר בין שני סוגי המהירויות, אם נדרש לכך.

קל לראות שאם נשתמש בקשר זה במשוואת התאוצה הרדיאלית של מהירות משיקית, נקבל את התאוצה:

$$ a_r=\frac{v^2}{R}=\omega^2 R $$

גוף המוחזק בחוט על משטח מסתובב, עם חיכוך

מערכת נפוצה נוספת: גוף קטן מונח על משטח (או מוט) המסתובב סביב ציר אנכי, ומוחזק במקומו הן על ידי חוט (בזווית מסוימת ביחס לציר) והן על ידי כוח חיכוך בינו לבין המשטח. ככל שהמהירות הזוויתית של הסיבוב גדולה יותר, כך נדרש כוח מרכזי גדול יותר - וכוח החיכוך (המוגבל בערכו המקסימלי) "משלים" את מה שהחוט לבדו אינו מספק.

שלב 1 - פירוק כוחות

מפרקים את כוח מתיחות החוט T (הפועל בזווית α מהאנך) ואת כוח החיכוך f (הפועל לאורך המשטח האופקי) לרכיבים אנכיים ואופקיים:

$$ T\cos\alpha = mg $$

$$ T\sin\alpha \pm f = m\omega^2 R $$

הסימן של f (חיבור או חיסור) תלוי בכיוון הפעולה שלו - כלפי החוץ (אם המהירות הזוויתית קטנה מדי, והחוט "מנסה" למשוך את הגוף פנימה יתר על המידה) או כלפי הפנים (אם המהירות הזוויתית גדולה מדי, והחוט לבדו אינו מספיק כדי לספק את הכוח המרכזי הנדרש).

שלב 2 - מציאת תחום המהירויות המותר

כדי שהגוף יישאר במקומו (ללא החלקה), כוח החיכוך הנדרש בכל רגע לא יכול לעלות על הערך המקסימלי \( \mu mg \) (בהנחה שהכוח הנורמלי שווה למשקל, כאשר אין רכיב אנכי נוסף מהמשטח עצמו). זה נותן שני תנאי סף - מהירות זוויתית מינימלית (מתחתיה הגוף "נשלף" פנימה) ומהירות זוויתית מקסימלית (מעליה הגוף "נזרק" החוצה) - התחום בין שתי המהירויות הללו הוא טווח הפעולה הבטוח של המערכת.

שלב 3 - מתיחות החוט

מתיחות החוט מתקבלת ישירות מהרכיב האנכי של משוואת ניוטון (שכן אין תאוצה אנכית):

$$ T = \frac{mg}{\cos\alpha} $$

שימו לב שערך זה קבוע וכלל אינו תלוי במהירות הזוויתית של הסיבוב - הוא נקבע אך ורק על ידי משקל הגוף וזווית החוט.