השוואת מסלולים

שני לוויינים במסלולים שונים סביב אותו גוף - יחס תאוצות ומתקף

שני לוויינים (למשל, שני שלבים של אותה משימת חלל) נעים במסלולים מעגליים שונים סביב אותו גוף מרכזי (למשל, הירח), ברדיוסים שונים \( r_1 \) ו-\( r_2 \). נרצה להשוות ביניהם מבחינת תאוצת הכבידה שהם חווים, ולבסוף לבחון גם רגע התנתקות ממנוע (מתקף).

שלב 1 - יחס תאוצות הכבידה בין שני המסלולים

תאוצת הכבידה (שהיא גם התאוצה המרכזית הנדרשת לתנועה המעגלית) תלויה רק ברדיוס המסלול, לא במסת הלוויין עצמו:

$$ a=\frac{GM}{r^2} $$

לכן, היחס בין תאוצות שני הלוויינים (הנעים סביב אותו גוף מרכזי M) תלוי רק ביחס הרדיוסים בריבוע:

$$ \frac{a_1}{a_2}=\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 $$

לוויין הקרוב יותר לגוף המרכזי (רדיוס קטן יותר) תמיד יחווה תאוצת כבידה גדולה יותר.

שלב 2 - יחס זמני המחזור (חוק קפלר השלישי)

כפי שנגזר מהכוח המרכזי, זמני המחזור של שני הלוויינים (סביב אותו גוף מרכזי) מקיימים:

$$ \frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{r_1^3}{r_2^3} $$

שוב, ללא צורך לדעת את מסת הגוף המרכזי או את קבוע הכבידה - היחס נקבע רק מיחס הרדיוסים.

שלב 3 - מתקף ברגע ניתוק ממנוע

אם בשלב מסוים במסלול, מנוע הלוויין פועל לפרק זמן קצר ומשנה את מהירותו (למשל, כדי לעבור למסלול אחר), המתקף שפעל על הלוויין באותו זמן שווה לשינוי בתנע שלו:

$$ \vec J = \Delta \vec p = m(\vec v_{after}-\vec v_{before}) $$

יש לשים לב לכיוון: אם הכוח מהמנוע פעל באותו כיוון כמו תנועת הלוויין (מאיץ אותו) לעומת נגד כיוון התנועה (מאט אותו), הדבר משפיע על סימן/כיוון וקטור המתקף.

שיטת פתרון כללית לבעיה המשלבת את שני החלקים

1. זהו את רדיוסי שני המסלולים מתוך הנתונים הגיאומטריים של הבעיה.
2. חשבו יחסי תאוצה ו/או זמן מחזור באמצעות הנוסחאות היחסיות לעיל (ללא צורך ב-G או M).
3. אם נדרש למצוא ערך מוחלט (לא רק יחס), יש להשתמש בנתון נוסף (כמו תאוצת כבידה ידועה בנקודה אחת, או זמן מחזור ידוע) כדי "לכייל" את הקבוע החסר.