קפיץ ושתי עגלות

קפיץ הדוחף שתי עגלות במנוחה - שילוב תנע ואנרגיה

שתי עגלות מוחזקות במנוחה על מסילה חלקה, כשביניהן קפיץ מכווץ (הנוגע בשתיהן אך אינו מחובר אליהן). כאשר משחררים את העגלות, הקפיץ דוחף אותן זו מזו, עד שהן מתנתקות ממנו וממשיכות לנוע בנפרד.

שלב 1 - שימור תנע (המצב ההתחלתי היה במנוחה)

מכיוון ששתי העגלות היו במנוחה לפני השחרור, התנע הכולל של המערכת (עגלות + קפיץ) היה אפס. אין כוחות חיצוניים אופקיים הפועלים על המערכת (המסילה חלקה), ולכן התנע הכולל נשמר - נשאר אפס גם לאחר ההתנתקות מהקפיץ:

$$ 0 = m_1v_1 + m_2v_2 $$

מכאן נובע שהעגלות נעות בכיוונים מנוגדים, כאשר היחס בין גדלי מהירויותיהן שווה בדיוק ליחס ההפוך בין מסותיהן:

$$ \frac{v_2}{v_1} = \frac{m_1}{m_2} $$

שלב 2 - שימור אנרגיה מכנית

לאורך כל התהליך (מהמצב ההתחלתי ועד ההתנתקות מהקפיץ) אין חיכוך, ולכן האנרגיה המכנית הכוללת נשמרת. כל האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית שהייתה אגורה בקפיץ הדחוס הופכת לאנרגיה קינטית של שתי העגלות:

$$ E_{p,elastic} = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 $$

מהם הגדלים הנשמרים לאורך התהליך?

• התנע הכולל של שתי העגלות - נשמר (נשאר אפס) לכל אורך התהליך, כולל אחרי ההתנתקות מהקפיץ.
• האנרגיה המכנית הכוללת (קינטית + אלסטית) - נשמרת כל עוד הקפיץ עדיין במגע עם העגלות. לאחר ההתנתקות, כשאין עוד אנרגיה אלסטית, האנרגיה הקינטית הכוללת של שתי העגלות נשארת קבועה (אין עוד המרה בין סוגי אנרגיה).
• האנרגיה הקינטית של כל עגלה בנפרד - אינה נשמרת במהלך הדחיפה עצמה (היא גדלה מאפס), אך לאחר ההתנתקות מהקפיץ, כשאין עוד כוחות פועלים, האנרגיה הקינטית של כל עגלה נשארת קבועה בנפרד.
• התנע של עגלה בודדת - אינו נשמר לאורך הדחיפה (משתנה מאפס לערך סופי), אך לאחר ההתנתקות מהקפיץ נשאר קבוע (אין עוד כוחות אופקיים הפועלים על העגלה הבודדת).

הוספת משקולת לאחת העגלות - שינוי היחס

אם מוסיפים משקולת לאחת העגלות (מגדילים את מסתה) ומחזירים את המערכת לאותו מצב התחלתי (אותו כיווץ קפיץ, כלומר אותה אנרגיה אלסטית אגורה), התנע הכולל עדיין יישאר אפס, אך היחס בין המהירויות ישתנה בהתאם ליחס המסות החדש - העגלה הכבדה יותר תנוע לאט יותר. יש לפתור מחדש את שתי משוואות השימור (תנע ואנרגיה) עם המסה החדשה, כדי למצוא את המהירויות המדויקות.

שיטת פתרון

1. כתבו את משוואת שימור התנע (סכום אפס, כיוונים מנוגדים).
2. כתבו את משוואת שימור האנרגיה (אנרגיה אלסטית הופכת לקינטית).
3. מתוך משוואת התנע, בטאו מהירות אחת באמצעות השנייה (למשל \( v_1 = \frac{m_2}{m_1}v_2 \)), והציבו במשוואת האנרגיה.
4. פתרו את המשוואה המתקבלת (בנעלם יחיד) כדי למצוא את שתי המהירויות.