בגרות – התנגשות דרך קפיץ בין שני גופים

נתוני השאלה

מסילה אופקית חלקה (ללא חיכוך) ובקצה שלה קיר. שלושה גופים A, B, C נמצאים על המסילה: A ו-B קרובים לקיר ומחוברים זה לזה באמצעות קפיץ דרוך (מסתו זניחה), ו-C נמצא הרחק יותר על המסילה. נתון: \( m_A=0.1\,kg \), \( m_B=0.2\,kg \), \( m_C=0.4\,kg \).

סעיף א - שחרור הקפיץ

1. מיד לפני השחרור שני הגופים במנוחה, ולכן תנע המערכת שווה לאפס. הקפיץ מפעיל כוח פנימי בלבד (בין A ל-B) - אין כוח חיצוני אופקי הפועל על המערכת - ולכן התנע הכולל נשמר ונשאר אפס גם מיד לאחר השחרור.

2. לפי שימור תנע, כאשר כיוון חיובי נבחר כ"הרחק מהקיר" (לכיוון C):

$$ \color[RGB]{31,111,178}{m_Av_A} + \color[RGB]{232,130,58}{m_Bv_B} = 0 $$

גוף A נע לכיוון הקיר, כלומר בכיוון השלילי: \( v_A=-0.6\,m/s \).

$$ v_B = -\frac{m_Av_A}{m_B} = -\frac{0.1\cdot(-0.6)}{0.2} = 0.3\,m/s $$

כלומר גוף B נע במהירות שגודלה 0.3 m/s בכיוון ההפוך לגוף A - הרחק מהקיר (לכיוון C).

סעיף ב - התנגשות A בקיר

1. הקיר "כבד" לאין שיעור מגוף A, ולכן בהתנגשות אלסטית עמו, גודל מהירות A נשמר וכיוונה מתהפך: \( v_A' = +0.6\,m/s \) (כעת הרחק מהקיר).

2. המתקף שמפעיל הקיר על A שווה לשינוי בתנעו:

$$ J = m_A(v_A' - v_A) = 0.1\cdot(0.6-(-0.6)) = 0.12\,N\cdot s $$

כיוון המתקף - הרחק מהקיר (באותו כיוון שאליו נעה A לאחר ההתנגשות).

סעיף ג - הגרף F(t)

1. השטח הכלוא בין הגרף לציר הזמן מייצג את גודל המתקף שהקיר הפעיל על גוף A במהלך ההתנגשות.

2. הגרף הוא משולש שבסיסו \( \Delta t = 0.08\,s \). משווים את שטח המשולש למתקף שחושב בסעיף ב:

$$ J = \frac{1}{2}\cdot\Delta t\cdot F_{max} \quad\Rightarrow\quad F_{max} = \frac{2J}{\Delta t} = \frac{2\cdot 0.12}{0.08} = 3\,N $$

סעיף ד - התנגשות B ב-C והידבקות

נתון כי לאחר ההתנגשות שני הגופים נצמדים (התנגשות פלסטית לחלוטין) והאנרגיה הקינטית שלהם יחד היא אפס - כלומר מהירותם המשותפת לאחר ההתנגשות היא אפס.

1. משימור תנע (כיוון חיובי - הרחק מהקיר, כמו קודם):

$$ \color[RGB]{31,111,178}{m_Bv_B} + \color[RGB]{232,130,58}{m_Cv_C} = (m_B+m_C)\cdot 0 $$

$$ v_C = -\frac{m_Bv_B}{m_C} = -\frac{0.2\cdot 0.3}{0.4} = -0.15\,m/s $$

כלומר מהירות C לפני ההתנגשות היא 0.15 m/s, בכיוון הקיר (לקראת B) - כפי שאכן נאמר בשאלה.

2. אם גודל מהירות C היה קטן מ-0.15 m/s, אזי התרומה השלילית שלו לתנע הכולל קטנה יותר מהתרומה החיובית של B, ולכן התנע הכולל של המערכת יישאר חיובי - הגופים הצמודים B ו-C ינועו בכיוון שבו נעה B, כלומר הרחק מהקיר (לכיוון C המקורי). זאת ניתן לקבוע ללא חישוב, ישירות משיקול הסימנים בשימור התנע.