בגרות – כוח משתנה וחיכוך
גוף שמסתו \( m=2\ \mathrm{kg} \) מונח על משטח אופקי מחוספס (מקדם החיכוך הקינטי \( \mu=0.2 \)). ציר מקום \( x \) מוגדר לאורך המשטח, ראשיתו \( x=0 \) במקום שבו הגוף מונח. כוח אופקי \( F \), שכיוונו ימינה וגודלו משתנה כתלות במיקום \( x \) (כמתואר בגרף), מפעיל על הגוף עד לנקודה \( A \), שבה \( x_A=5\ \mathrm{m} \); שם הכוח \( F \) מפסיק לפעול. הגוף ממשיך לנוע בהשפעת החיכוך בלבד, ונעצר בנקודה \( B \).
א. עבודת הכוח F מ-O ל-A
עבודת הכוח \( F \) שווה לשטח הכלוא בין הגרף לציר ה-\( x \), בתחום \( 0\leq x\leq5 \). מפרקים את השטח למלבן (רוחב \( 3\ \mathrm{m} \), גובה \( 5\ \mathrm{N} \)) ולטרפז (רוחב \( 2\ \mathrm{m} \), בסיסים \( 5\ \mathrm{N} \) ו-\( 15\ \mathrm{N} \)):
$$ W_F = 5\times3 + \frac{(5+15)\times2}{2} = 15+20 = 35\ \mathrm{J} $$
ב. עבודת כוח החיכוך מ-O ל-A
הכוח \( F \) אופקי בלבד, ולכן הכוח הנורמלי שווה למשקל הגוף (\( N=mg \)), וכוח החיכוך קבוע לאורך כל התנועה מ-O ל-A:
$$ W_f = -\mu m g\, x_A = -0.2\times2\times10\times5 = -20\ \mathrm{J} $$
ג. מהירות הגוף בנקודה A
הגוף התחיל ממנוחה. ממשפט העבודה-אנרגיה (\( N \) ו-\( mg \) אינם מבצעים עבודה, שכן הם מאונכים לתנועה):
$$ W_F+W_f = \tfrac12mv_A^2-0 \quad\Rightarrow\quad v_A=\sqrt{\frac{2(W_F+W_f)}{m}}=\sqrt{\frac{2(35-20)}{2}}\approx3.87\ \mathrm{m/s} $$
ד. מיקום הנקודה B (שם נעצר הגוף)
מ-A ואילך פועל רק כוח החיכוך, עד לעצירה מלאה. ממשפט העבודה-אנרגיה בין A ל-B:
$$ -\mu m g\,\Delta x_{AB} = 0-\tfrac12mv_A^2 \quad\Rightarrow\quad \Delta x_{AB}=\frac{v_A^2}{2\mu g}=\frac{15}{2\times0.2\times10}=3.75\ \mathrm{m} $$
$$ x_B = x_A+\Delta x_{AB} = 5+3.75 = 8.75\ \mathrm{m} $$
ה. השוואה למקרה של כוח F₁ באלכסון
מחליפים את הכוח האופקי \( F \) בכוח \( F_1 \) שווה-גודל אך מוטה בזווית כלפי מעלה, כך שהרכיב האופקי שלו (\( F_1\cos\alpha \)) שווה בכל נקודה לגודל הכוח האופקי \( F \) המקורי, והגוף נע מ-O ונעצר בנקודה C. ההיגד הנכון: \( x_C > x_B \).
הסבר: מכיוון של-\( F_1 \) יש רכיב אנכי כלפי מעלה, הכוח הנורמלי בקטע OA קטן יותר מהמקרה הקודם (\( N=mg-F_1\sin\alpha \)) - ולכן כוח החיכוך בקטע זה קטן יותר, ועבודת החיכוך (בערכה המוחלט) קטנה יותר. מאחר שהרכיב האופקי של \( F_1 \) מבצע בדיוק את אותה עבודה כמו \( F \) המקורי (שווה לו בגודל), הגוף מגיע לנקודה A במהירות גדולה יותר מ-\( v_A \) שחושבה בסעיף ג'.
מנקודה A ואילך (הכוח \( F_1 \) כבר הפסיק לפעול, כמו קודם) כוח החיכוך זהה לזה שבמקרה הקודם (הנורמל חוזר לבדיוק \( mg \)) - אך הגוף מתחיל קטע זה במהירות גבוהה יותר. לכן הוא ממשיך למרחק רב יותר לפני שהוא נעצר, כלומר \( x_C > x_B \).