בגרות – תיבה נעה מחוספס אנרגיה קינטית

תיבה שמסתה \( m=0.5\ \mathrm{kg} \) נעה לאורך קו ישר על משטח אופקי מחוספס, בכיוון החיובי של ציר \( x \). מקדם החיכוך הקינטי בין התיבה למשטח הוא \( \mu=0.14 \). ברגע \( t=0 \) הייתה התיבה בנקודה \( x=0 \). הגרף מתאר את האנרגיה הקינטית \( E_k \) של התיבה כפונקציה של מיקומה \( x \), ב-50 המטרים הראשונים של תנועתה: \( E_k(0)=40\ \mathrm{J} \), \( E_k(20)=16\ \mathrm{J} \), \( E_k(50)=40\ \mathrm{J} \).

א. האם פועל כוח אופקי נוסף ב-20 המטרים הראשונים

עוצמת כוח החיכוך הצפויה, אילו הוא היה הכוח היחיד הפועל אופקית על התיבה:

$$ \mu m g = 0.14\times0.5\times10 = 0.7\ \mathrm{N} $$

לו פעל חיכוך בלבד, שיפוע הגרף בקטע זה היה \( -0.7\ \mathrm{J/m} \) (כלומר \( E_k \) הייתה קטנה ב-\( 0.7\times20=14\ \mathrm{J} \) על פני 20 המטרים). בפועל, לפי הגרף:

$$ \text{slope} = \frac{E_k(20)-E_k(0)}{20} = \frac{16-40}{20} = -1.2\ \mathrm{J/m} $$

גודל השיפוע בפועל (\( 1.2\ \mathrm{N} \)) גדול מעוצמת כוח החיכוך הצפוי (\( 0.7\ \mathrm{N} \)) - כלומר, כן פועל כוח אופקי נוסף על התיבה כבר ב-20 המטרים הראשונים, בכיוון התנועה השלילי (מנוגד לכיוון התנועה, "עוזר" לחיכוך להאט את התיבה).

ב. גודל הכוח F הפועל מ-x=20 עד x=50

בקטע זה \( E_k \) עולה מ-\( 16\ \mathrm{J} \) ל-\( 40\ \mathrm{J} \) על פני \( 30\ \mathrm{m} \):

$$ \text{slope} = \frac{E_k(50)-E_k(20)}{30} = \frac{40-16}{30} = 0.8\ \mathrm{N} $$

שיפוע הגרף שווה לכוח השקול. הכוח השקול הוא \( F \) (קדימה) פחות כוח החיכוך (אחורה):

$$ F - \mu mg = 0.8 \quad\Rightarrow\quad F = 0.8+0.7 = 1.5\ \mathrm{N} $$

ג. עבודת כוח החיכוך מ-x=20 עד לעצירת התיבה

הכוח \( F \) פסק לפעול ב-\( x=50 \). מ-\( x=50 \) ואילך פועל רק כוח החיכוך, עד לעצירה מלאה - כלומר כל האנרגיה הקינטית שנותרה ב-\( x=50 \) (\( 40\ \mathrm{J} \)) מתפזרת על ידי החיכוך בקטע זה:

$$ W_{f,\,50\to stop} = -E_k(50) = -40\ \mathrm{J} $$

מוסיפים את עבודת החיכוך בקטע \( 20\to50 \) (\( 30\ \mathrm{m} \), בעוצמה קבועה \( 0.7\ \mathrm{N} \)):

$$ W_{f,\,20\to50} = -\mu mg\times30 = -0.7\times30 = -21\ \mathrm{J} $$

העבודה הכוללת של החיכוך מ-\( x=20 \) ועד העצירה:

$$ W_f = W_{f,\,20\to50} + W_{f,\,50\to stop} = -21+(-40) = -61\ \mathrm{J} $$

ד. השוואה לכוח נטוי באלכסון

אילו בקטע \( 20\to50 \) הופעל, במקום \( F \) האופקי, כוח נטוי בזווית \( \alpha \) מעל האופק (כך שהרכיב האופקי שלו שווה בדיוק ל-\( F \)), האנרגיה הקינטית ב-\( x=50 \) הייתה גדולה יותר מ-\( 40\ \mathrm{J} \).

הסבר: לכוח הנטוי יש רכיב אנכי כלפי מעלה, המקטין את הכוח הנורמל (\( N=mg-F\sin\alpha \)) - ולכן גם את כוח החיכוך, הפרופורציוני לנורמל. הרכיב האופקי של הכוח הנטוי מבצע בדיוק את אותה עבודה כמו \( F \) המקורי (שווה לו בגודל), אך פחות אנרגיה הולכת לאיבוד בחיכוך לאורך אותו קטע - ולכן האנרגיה הקינטית הסופית ב-\( x=50 \) גדולה יותר.