בגרות – עגלה ורוח ממאוורר

תלמיד בנה מערכת ובה עגלה שמסתה \( m=2\ \mathrm{kg} \) ומאוורר, כדי לחקור נושא באנרגיה מכנית. העגלה נעה על מישור: מנקודה A היא עולה (מגובה הקרקע) לנקודה B, שנמצאת בגובה \( h=0.8\ \mathrm{m} \) מעל הקרקע; משם ואילך (הקטע האופקי BD, ארכו \( 4\ \mathrm{m} \)) המישור אופקי. החיכוך בין העגלה למישור ניתן להזניח בכל אורך המסלול. המאוורר ניצב בנקודה D ומניע אוויר היוצר רוח אופקית. הכוח \( F \) שהרוח מפעילה על העגלה תלוי ליניארית במרחק \( x \) של העגלה מנקודה B: הכוח מתאפס בנקודה B וגדל ליניארית עד לערך מרבי \( F=8\ \mathrm{N} \) בנקודה D (\( x=4\ \mathrm{m} \)), כך ש- \( F(x)=2x \). מימין ל-B (בקטע AB) הרוח אינה משפיעה.

א. המהירות המזערית הנדרשת בנקודה A להגעה לנקודה B

הקטע AB חלק (אין חיכוך), ואין רוח בקטע זה - כך שהעלייה מ-A ל-B נשלטת רק על ידי שימור אנרגיה מכנית. המהירות המזערית מתקבלת כאשר העגלה "בקושי" מגיעה ל-B, כלומר עם מהירות אפס שם:

$$ \tfrac12mv_{min}^2 = mgh \quad\Rightarrow\quad v_{min}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times0.8}=4\ \mathrm{m/s} $$

ב. עבודת כוח הרוח F(x) מ-B ל-C

התלמיד העניק לעגלה בנקודה A מהירות התחלתית \( v_0=5\ \mathrm{m/s} \) (ימינה) - גדולה מהמהירות המזערית שבסעיף א', כך שהעגלה מגיעה ל-B במהירות:

$$ v_B^2 = v_0^2 - 2gh = 25-16=9 \quad\Rightarrow\quad v_B=3\ \mathrm{m/s} $$

בקטע BD פועלת רוח המנגדת לתנועה, והעגלה נעצרת רגעית בנקודה C. ממשפט העבודה-אנרגיה (אין כוחות נוספים פועלים בקטע האופקי, החיכוך זניח):

$$ W_F = 0 - \tfrac12mv_B^2 = -\tfrac12\times2\times9 = -9\ \mathrm{J} $$

ג. המרחק BC

עבודת הרוח שווה (בערכה המוחלט) לשטח שמתחת לגרף \( F(x)=2x \), מ-\( x=0 \) עד \( x=BC \):

$$ |W_F| = \int_0^{BC} 2x\,dx = (BC)^2 $$

$$ 9 = (BC)^2 \quad\Rightarrow\quad BC = 3\ \mathrm{m} $$

ד. תיאור תנועת העגלה מ-C ל-B

לאחר העצירה הרגעית בנקודה C, כוח הרוח (המכוון כל הזמן לכיוון B) ממשיך לפעול על העגלה ומאיץ אותה בחזרה לכיוון B. מכיוון שגודל הכוח \( F(x)=2x \) פוחת ככל ש-\( x \) (המרחק מ-B) פוחת, תנועת העגלה מ-C ל-B היא תנועה מואצת (המהירות גדלה) בתאוצה שאינה קבועה, אלא הולכת ופוחתת בהדרגה ככל שהעגלה מתקרבת ל-B.

ה. מהירות העגלה בהגיעה בחזרה לנקודה A

מ-C בחזרה ל-B: כוח הרוח \( F(x) \) תלוי במיקום בלבד (זהה בשני הכיוונים), ולכן העבודה שהוא מבצע על מסלול סגור B→C→B מתאפסת (עבודה שלילית בדרך out, עבודה חיובית שוות-גודל בדרך חזרה). בקטע AB אין חיכוך, ורק כוח הכובד (משמר) פועל. מכיוון שאין בקטע כולו כוחות לא-משמרים בעלי עבודה כוללת שונה מאפס (החיכוך זניח, ועבודת הרוח על מסלול סגור מתאפסת), האנרגיה המכנית הכוללת של המערכת נשמרת מתחילת התנועה ועד סופה. לכן העגלה חוזרת לנקודה A במהירות זהה לזו שקיבלה בתחילת התנועה:

$$ v_{A,final} = v_0 = 5\ \mathrm{m/s} $$