בגרות – כוח חיכוך

בתרשים שלפניך מתוארת מסילה הנמצאת במישור אנכי ועליה נע גוף קטן שמסתו m. קטע המסלול ABC הוא חלק, והקטע האופקי CD מחוספס (מקדם החיכוך הקינטי \( \mu_k \)). בקצה הקטע CD נמצא קפיץ רפוי המחובר אל קיר. המשטח שהקפיץ מונח עליו הוא חלק. הקטעים C, D ו-F (נקודת העצירה הרגעית) נמצאים כולם באותו גובה h מעל קו הייחוס MN.

הגוף משוחרר ממנוחה מהנקודה A (בגובה H ביחס למישור הייחוס MN), ונע לאורך המסלול עד הנקודה F. בנקודה F הגוף עוצר רגעית לאחר שהוא מכווץ את הקפיץ.

נתון: אורך הקטע CD הוא 1 m; אורך הקטע DF הוא 0.1 m. \( m=1.5\ \mathrm{kg},\ H=3\ \mathrm{m},\ h=1\ \mathrm{m},\ \mu_k=0.3 \).

א. טבלת האנרגיה

הקטע ABC כולו חלק, ולכן משם ועד C האנרגיה המכנית נשמרת. בנקודות C, D ו-F הגוף נמצא באותו גובה h - ולכן האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית זהה (וחיובית) בשלושתן. רק בנקודה F, לאחר כיווץ הקפיץ, קיימת אנרגיה פוטנציאלית אלסטית.

ב. מהירות הגוף בנקודות C ו-D

(1) מ-A ל-C המסלול כולו חלק - שימור אנרגיה מלא:

$$ mgH = \tfrac12mv_C^2 + mgh \quad\Rightarrow\quad v_C^2 = 2g(H-h) = 2\times10\times(3-1) = 40 $$

$$ v_C = \sqrt{40} \approx 6.32\ \mathrm{m/s} $$

(2) מ-C ל-D המסלול מחוספס (אותו גובה בשתי הנקודות, כך שהאנרגיה הפוטנציאלית הכובדית אינה משתנה); עבודת החיכוך שוללת אנרגיה קינטית:

$$ \tfrac12mv_C^2 = \tfrac12mv_D^2 + \mu_k mg\cdot CD $$

$$ \tfrac12\times40 = \tfrac12v_D^2 + 0.3\times10\times1 \quad\Rightarrow\quad v_D^2 = 34 \quad\Rightarrow\quad v_D \approx 5.83\ \mathrm{m/s} $$

ג. קבוע הקפיץ k

הקטע DF חלק - כל האנרגיה הקינטית בנקודה D הופכת לאנרגיה אלסטית בקפיץ בנקודת העצירה הרגעית F (דחיסה מקסימלית \( DF=0.1\ \mathrm{m} \)):

$$ \tfrac12mv_D^2 = \tfrac12k(DF)^2 $$

$$ \tfrac12\times1.5\times34 = \tfrac12\times k\times0.1^2 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1.5\times34}{0.01} = 5100\ \mathrm{N/m} $$

ד. הגובה שאליו יגיע הגוף לאחר שמתנתק מהקפיץ

מ-F חזרה ל-D: הקטע חלק, ולכן כל האנרגיה האלסטית חוזרת להיות אנרגיה קינטית - הגוף מגיע ל-D באותה מהירות שבה עזב אותה (בכיוון ההפוך): \( v_D'=v_D \), כלומר \( v_D'^2=34 \).

מ-D חזרה ל-C: שוב הקטע המחוספס, וגם עתה החיכוך מנגד לתנועה ושולל אנרגיה:

$$ \tfrac12mv_D'^2 = \tfrac12mv_C'^2 + \mu_k mg\cdot CD $$

$$ \tfrac12\times34 = \tfrac12v_C'^2 + 3 \quad\Rightarrow\quad v_C'^2 = 28 $$

מ-C ועולה חזרה במסלול החלק, עד לגובה מרבי חדש \( H' \) (שם המהירות מתאפסת):

$$ \tfrac12mv_C'^2 + mgh = mgH' \quad\Rightarrow\quad H' = \frac{v_C'^2}{2g}+h = \frac{28}{20}+1 = 2.4\ \mathrm{m} $$

ה. השפעת קבוע קפיץ שונה על הגובה שאליו יגיע הגוף

הגובה שאליו יגיע הגוף יהיה שווה לגובה שחושב בסעיף ד, ללא תלות בקבוע הקפיץ החדש.

הסבר: הקטע שבו נמצא הקפיץ (D-F) חלק וללא חיכוך. לכן, ללא קשר לגודל קבוע הקפיץ (הקובע רק כמה הקפיץ יידחס), כל האנרגיה הקינטית שמגיעה לנקודה D בדרך פנימה חוזרת במלואה לאנרגיה קינטית כאשר הגוף שב ומגיע לנקודה D בדרכו החוצה (שימור אנרגיה מלא על קטע חלק) - כלומר מהירות הגוף בחזרתו ל-D זהה בגודלה למהירותו שם בכניסה, בכל קפיץ שהוא. מכאן שאובדן האנרגיה לחיכוך על הקטע CD (התלוי רק במרחק CD, במקדם החיכוך ובמסה - לא בקפיץ) יהיה זהה בכל מקרה, ולכן גם הגובה הסופי שאליו יגיע הגוף יהיה זהה.