בגרות – מחבט טניס וגרף כוח-זמן

סעיף א - גזירת F=ma מהגדרת התנע

תנע מוגדר כ- \( \vec{p}=m\vec{v} \). כאשר מסת הגוף קבועה, השינוי בתנע נובע רק משינוי המהירות:

$$ \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} = \frac{m\Delta \vec{v}}{\Delta t} = m\cdot\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = m\vec{a} $$

כלומר \( \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}=m\vec{a} \) - זהו החוק השני של ניוטון, כפי שנוסח באמצעות התנע.

סעיף ב - שינוי התנע מהגרף

נתון: מסת הכדור \( m=0.06\,kg \). הגרף מתאר את גודל הכוח שמפעיל המחבט על הכדור כפונקציה של הזמן. גודל השינוי בתנע שווה לשטח הכלוא בין הגרף לציר הזמן (המתקף):

$$ J = \int F\,dt \approx \text{שטח מתחת לגרף} $$

הערכה גסה של השטח (בקירוב משולש שבסיסו כ-3 מילישניות וגובהו כ-1000 N, כפי שנקרא מהגרף):

$$ J \approx \frac{1}{2}\cdot 0.003\,s\cdot 1000\,N \approx 1.5-2.5\,N\cdot s $$

(הערך המדויק תלוי בקריאה מדויקת של שטח הגרף - זהו קירוב בלבד, כפי שהתבקש בשאלה).

סעיף ג - מהירות הכדור לאחר החבטה

השחקן חובט בכדור הנע כלפי מעלה במהירות \( v=5\,m/s \) (כיוון חיובי - מעלה). כיוון הכוח מהמחבט הוא כלפי מטה (המחבט שולח את הכדור למגרש), ולכן המתקף שלילי:

$$ v' = v - \frac{J}{m} = 5 - \frac{2}{0.06} \approx 5 - 33 \approx -28\,m/s $$

כלומר מהירות הכדור מיד לאחר החבטה היא כ-28 עד 40 מטרים לשנייה (בהתאם לערך המתקף שנקרא מהגרף בסעיף ב), בכיוון כלפי מטה.

סעיף ד - נכון/לא נכון: תנע הכדור וכדור הארץ

כדור הטניס מגיע לרצפה במהירות אנכית \( v_1=12\,m/s \) כלפי מטה, וחוזר כלפי מעלה במהירות \( v_2=12\,m/s \).

• (1) נכון - לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שהרצפה מפעילה על הכדור שווה בגודלו ומנוגד לכוח שהכדור מפעיל על הרצפה (ובעקיפין על כדור הארץ). לכן גם תנע כדור הארץ משתנה, גם אם שינוי זה זעיר ובלתי מורגש עקב מסתו העצומה.
• (2) לא נכון - מאותה סיבה: אי אפשר שתנע הכדור ישתנה בלי שתנע כדור הארץ ישתנה בהתאמה (ומנוגד), גם אם בפועל שינוי זה זניח.
• (3) לא נכון - התנע אכן השתנה (וקטור, כיוון התהפך), אך האנרגיה הקינטית לא השתנתה, כיוון שגודל המהירות זהה לפני ואחרי (12 מטרים לשנייה בשני המקרים) - והאנרגיה הקינטית תלויה רק בריבוע גודל המהירות: \( E_k=\frac{1}{2}mv^2 \).