כדור קטן מתנתק מכדור גדול

כדור קטן מתנתק מכדור גדול - תנועה מעגלית אנכית

גוף קטן מחליק על פני כדור גדול (או משטח כדורי), ונע במסלול מעגלי על פני הכדור כל עוד כוח הנורמל בין הגופים חיובי. ברגע שבו כוח הנורמל מתאפס, הגוף הקטן מתנתק ממשטח הכדור הגדול וממשיך בתנועה חופשית.

תנאי הניתוק

כל עוד הגוף נמצא על פני הכדור, הרכיב הרדיאלי של כוח הכובד (בניכוי כוח הנורמל) מספק את הכוח המרכזי הדרוש לתנועה המעגלית:

$$ mg\cos\theta - N = \frac{mv^2}{R} $$

כאשר θ היא הזווית בין הרדיוס לנקודת הגוף לבין הציר האנכי (נמדדת מפסגת הכדור). ברגע הניתוק, כוח הנורמל מתאפס (\( N=0 \)):

$$ mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R} $$

שימוש בשימור אנרגיה למציאת המהירות

אם הגוף מתחיל ממנוחה בפסגת הכדור, ניתן למצוא את מהירותו בזווית θ באמצעות שימור אנרגיה - ירידת הגובה ממירה אנרגיה פוטנציאלית לקינטית:

$$ mgR(1-\cos\theta) = \frac{1}{2}mv^2 $$

מציאת זווית וגובה הניתוק

שילוב שתי המשוואות (תנאי הניתוק ושימור האנרגיה) מאפשר לפתור עבור הזווית θ שבה הגוף מתנתק, ללא תלות במסת הגוף (המצטמצמת משתי המשוואות):

$$ \cos\theta = \frac{2}{3} $$

זהו תוצאה כללית (ללא תלות ברדיוס R או במסה m) לגוף המתחיל ממנוחה בדיוק בפסגת כדור חלק.