לווין ונוס

לוויין במסלול מעגלי - תאוצת נפילה חופשית והשוואה בין כוכבי לכת

לוויין נע במסלול מעגלי סביב כוכב לכת ברדיוס r נתון. נחשב את תאוצת הנפילה החופשית שלו, זמן המחזור והמהירות המשיקית - ולאחר מכן נשווה למצב שבו לוויין זהה מוקף כוכב לכת אחר, באותו רדיוס מסלול בדיוק.

שלב 1 - תאוצת הנפילה החופשית של הלוויין

תאוצת הנפילה החופשית (השווה לתאוצה המרכזית הנדרשת לתנועה המעגלית) תלויה רק במסת כוכב הלכת M ובריבוע הרדיוס:

$$ a=\frac{GM}{r^2} $$

כיוון התאוצה תמיד לכיוון מרכז כוכב הלכת.

שלב 2 - זמן מחזור ומהירות משיקית

מהחוק השני של ניוטון (הכוח המרכזי שווה לכוח הכבידה):

$$ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \, , \quad T=\frac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$

שלב 3 - השוואת תאוצה בין שני כוכבי לכת, באותו רדיוס מסלול

אם לוויין זהה מוקף כוכב לכת שני (למשל, מאדים במקום כדור הארץ), באותו רדיוס מסלול r בדיוק, ההשוואה בין תאוצות הנפילה החופשית תלויה רק ביחס המסות בין שני כוכבי הלכת (מכיוון שהרדיוס זהה, הוא מצטמצם מהיחס):

$$ \frac{a_2}{a_1}=\frac{M_2}{M_1} $$

מכיוון שמאדים קל בהרבה מכדור הארץ, תאוצת הנפילה החופשית של לוויין המקיף את מאדים (באותו רדיוס בדיוק) תהיה קטנה יותר מזו של לוויין המקיף את כדור הארץ.

שלב 4 - הפרכת טענה שגויה על חוק קפלר השלישי

טענה נפוצה שיש לבחון בזהירות: "מכיוון שלשני הלוויינים אותו רדיוס מסלול, לפי חוק קפלר השלישי גם זמני המחזור שלהם שווים". טענה זו שגויה - חוק קפלר השלישי (\( T^2\propto r^3 \)) תקף רק כאשר קבוע הפרופורציה (\( \frac{4\pi^2}{GM} \)) זהה - כלומר, רק כאשר שני הגופים מקיפים את אותו גוף מרכזי. כאשר הגוף המרכזי שונה (כדור הארץ מול מאדים), הקבוע שונה גם הוא (תלוי במסה השונה), ולכן זמני המחזור אינם שווים למרות שהרדיוסים שווים - הלוויין המקיף את הגוף הקל יותר (מאדים) יזדקק לזמן מחזור ארוך יותר (מהירות איטית יותר על אותו היקף מסלול).

שלב 5 - השוואה בין שני מסלולים סביב אותו גוף

לעומת זאת, כאשר משווים שני מסלולים שונים (רדיוסים \( r_1,r_2 \)) סביב אותו גוף מרכזי, חוק קפלר השלישי כן תקף במלואו, וניתן להשתמש ביחס הפשוט:

$$ \frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{r_1^3}{r_2^3} $$

ההבדל המכריע: לא משנה הרדיוסים זהים או שונים - מה שקובע אם ניתן להשתמש ביחס הפשוט הוא אך ורק האם הגוף המרכזי זהה בשני המקרים.