התנגשות ונפילה חופשית

מסילה, זריקה אופקית, קפיצה מהרצפה והתנגשות בכדור שני

גוף מוחלק ממנוחה לאורך מסילה חלקה, יוצא בקצה בכיוון אופקי, מבצע זריקה אופקית ופוגע ברצפה. בהמשך משווים מה קורה כאשר מניחים כדור נוסף (זהה במסה) בקצה המסילה, וגוף 1 מתנגש בו - פעם בהתנגשות פלסטית, ופעם בהתנגשות אלסטית.

שלב 1 - סוג התנועה בשלב הזריקה האופקית

מרגע העזיבה את קצה המסילה ועד הפגיעה ברצפה, יש להבחין בין שני הצירים:

• ציר אופקי: אין כוחות אופקיים (מזניחים התנגדות אוויר) - תנועה בקצב מהירות קבועה.
• ציר אנכי: פועל כוח כובד קבוע - תנועה בתאוצה קבועה (נפילה חופשית, מתחילה ממהירות אנכית אפס).

שלב 2 - מציאת מרחק הנחיתה

זמן הנפילה נקבע רק מגובה הנפילה H:

$$ t = \sqrt{\frac{2H}{g}} $$

והמרחק האופקי מהנקודה שמתחת לקצה המסילה עד לנקודת הנחיתה:

$$ d = v_Bt $$

כאשר \( v_B \) היא המהירות האופקית ביציאה מהמסילה (ניתן למצוא אותה משימור אנרגיה על המסילה החלקה, מגובה הירידה).

שלב 3 - קפיצה אלסטית מהרצפה

כאשר הכדור מתנגש ברצפה בהתנגשות אלסטית לחלוטין, גודל מהירותו נשמר (רק כיוון הרכיב האנכי מתהפך). כתוצאה מכך, לאחר הקפיצה הכדור עולה בדיוק לאותו גובה שממנו התחיל ליפול - שכן האנרגיה הקינטית (ומכאן המהירות האנכית) בפגיעה ברצפה זהה במידה לזו שהייתה לו אילו "נפל" מאותו גובה, וההתנגשות האלסטית משמרת אותה במלואה:

$$ h_{max} = H $$

(כאשר H הוא הגובה שממנו הגיע הכדור לרצפה - כלומר גובה קצה המסילה מעל הרצפה).

שלב 4 - השוואה בין התנגשות פלסטית לאלסטית עם כדור נוסף באותה מסה

כאשר כדור שני (מסה זהה) מונח בקצה המסילה, וכדור 1 מתנגש בו שם (לפני הזריקה האופקית), יש שני מקרים קלאסיים (עבור מסות שוות):

• התנגשות פלסטית - הגופים נצמדים ונעים יחד במהירות השווה למחצית מהירות כדור 1 המקורית (הממוצע בין מהירותו לבין מהירות כדור 2, שהייתה אפס):

$$ u = \frac{v_B}{2} $$

• התנגשות אלסטית (חד-ממדית, מסות שוות) - הכדורים "מחליפים" מהירויות: כדור 1 (שהיה נע) נעצר לחלוטין, וכדור 2 (שהיה במנוחה) יוצא במהירותו המקורית המלאה של כדור 1:

$$ u_2 = v_B \, , \quad u_1 = 0 $$

המסקנה לגבי מרחק הנחיתה

מכיוון שהמרחק האופקי d תלוי ישירות (וביחס ליניארי) במהירות היציאה מהמסילה, וכל שינוי בגובה היציאה (H) זהה בשני המקרים (שני הכדורים יוצאים מאותה נקודה B בדיוק):

• בהתנגשות הפלסטית, הגוף המאוחד יוצא במחצית המהירות המקורית - ולכן ינחת במרחק קטן יותר מהמרחק \( d \) המקורי (מהחלק הראשון של השאלה).
• בהתנגשות האלסטית, כדור 2 יוצא באותה מהירות מקורית בדיוק שהייתה לכדור 1 - ולכן ינחת באותו מרחק בדיוק \( d \), לא רחוק יותר.

לכן, בשום מקרה (לא פלסטי ולא אלסטי, במסות שוות) הכדור השני לא ינחת במרחק גדול יותר מהמרחק המקורי d - ההתנגשות האלסטית היא המקרה הטוב ביותר האפשרי, והיא רק "משמרת" את המרחק המקורי, לא מגדילה אותו.