התנגשות מצחית אלסטית במסות זהות

התנגשות מצחית אלסטית במסות זהות

שני גופים בעלי מסה זהה (\( m \)) נעים זה לקראת זה במהירויות נתונות, ומתנגשים התנגשות מצחית (חד-מימדית). נבחן את מהירותם לאחר ההתנגשות בשני מקרים: התנגשות פלסטית, והתנגשות אלסטית.

שימור תנע - זהה בשני המקרים

בכל התנגשות (פלסטית או אלסטית), מתקיים שימור תנע:

$$ mv_1 + mv_2 = mu_1 + mu_2 $$

מכיוון שהמסה m משותפת לשני הגופים, ניתן לצמצם אותה משני צידי המשוואה:

$$ v_1 + v_2 = u_1 + u_2 $$

מקרה 1 - התנגשות פלסטית

הגופים נצמדים ונעים יחד באותה מהירות. משימור התנע (עם מסות שוות):

$$ mv_1 + mv_2 = 2mu \quad \Rightarrow \quad u = \frac{v_1+v_2}{2} $$

כלומר, מהירות הגופים המשותפת לאחר ההתנגשות היא פשוט הממוצע של שתי המהירויות ההתחלתיות.

מקרה 2 - התנגשות אלסטית

בהתנגשות אלסטית נשמרת גם האנרגיה הקינטית, ומתקיים גם קשר המהירות היחסית:

$$ u_1 - u_2 = -(v_1-v_2) $$

פתרון משותף של משוואת שימור התנע (עם מסות שוות) ומשוואה זו נותן תוצאה פשוטה ומפתיעה: הגופים מחליפים מהירויות ביניהם:

$$ u_1 = v_2 \, , \quad u_2 = v_1 $$

זוהי תוצאה כללית להתנגשות אלסטית חד-ממדית בין שני גופים שווי מסה - ללא תלות בערכי המהירויות הספציפיים.

השוואה בין שני המקרים

• בהתנגשות פלסטית, שני הגופים מסתיימים באותה מהירות (הממוצע של המהירויות ההתחלתיות).
• בהתנגשות אלסטית, שני הגופים פשוט מחליפים מהירויות - כל גוף "יורש" את המהירות שהייתה לגוף השני.