כוח משתנה

כוח משתנה, חיכוך, ועצירה - שילוב גרף כוח-מקום עם משפט עבודה-אנרגיה

בבעיה מסוג זה, כוח אופקי F (הנתון כגרף כתלות במיקום x, לא כוח קבוע) מניע גוף על משטח מחוספס עד לנקודה מסוימת, ואז מפסיק לפעול - הגוף ממשיך לנוע (ומאט) בהשפעת החיכוך בלבד, עד שהוא נעצר.

שלב 1 - עבודת הכוח המשתנה מגרף F-x

כאשר הכוח אינו קבוע, לא ניתן להשתמש בנוסחה הפשוטה \( W=Fx \). במקום זאת, העבודה שווה לשטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x, בתחום שבו הכוח פעל:

$$ W_F = \int_0^{x} F(x')\,dx' $$

כלומר, עבודת הכוח שווה לשטח הכלוא מתחת לגרף F(x). אם הגרף מורכב מקטעים ישרים (משולשים, טרפזים, מלבנים), מחשבים את שטח כל צורה בנפרד ומחברים.

שלב 2 - עבודת החיכוך עד לנקודה שבה הכוח מפסיק לפעול

כל עוד הגוף נע, פועל עליו גם כוח חיכוך קינטי, שעבודתו (שלילית) נתונה על ידי:

$$ W_f = -\mu N d $$

כאשר d הוא המרחק שעבר הגוף עד לאותה נקודה, ו-N הוא הכוח הנורמלי (שווה למשקל הגוף, \( mg \), כאשר הכוח החיצוני F אופקי בלבד).

שלב 3 - מציאת המהירות באמצעות משפט עבודה-אנרגיה

משפט עבודה-אנרגיה מקשר בין סך העבודות הפועלות על הגוף (של F ושל החיכוך גם יחד) לבין השינוי באנרגיה הקינטית שלו:

$$ W_F + W_f = \frac{1}{2}mv^2 - 0 $$

(בהנחה שהגוף התחיל ממנוחה). מכאן ניתן לחלץ את מהירות הגוף בנקודה הרצויה.

שלב 4 - מציאת נקודת העצירה הסופית

לאחר שהכוח F מפסיק לפעול, הגוף ממשיך לנוע רק בהשפעת החיכוך, המבצע עבודה שלילית עד לעצירה מלאה. נסמן ב-\( d_2 \) את המרחק הנוסף (מעבר לנקודה שבה F הפסיק לפעול) שעובר הגוף עד לעצירה המלאה. באמצעות משפט עבודה-אנרגיה פעם נוספת (הפעם מהמהירות שנמצאה בשלב 3 ועד מהירות אפס), ניתן למצוא מרחק זה:

$$ \frac{1}{2}mv^2 - \mu N d_2 = 0 $$

השפעת כוח באלכסון על החיכוך

כאשר הכוח החיצוני אינו אופקי אלא מוטה בזווית כלפי מעלה, יש לו רכיב אנכי המקטין את הכוח הנורמלי בין הגוף למשטח (שכן רכיב זה "עוזר" לתמוך במשקל הגוף):

$$ N = mg - F\sin\alpha $$

כתוצאה מכך, כוח החיכוך הקינטי (התלוי ב-N) קטן יותר במקרה זה, בעוד רכיב הכוח האופקי המניע את הגוף (\( F\cos\alpha \)) קטן אף הוא ביחס למקרה האופקי. ההשוואה בין המרחק הכולל שעבר הגוף בשני המקרים (כוח אופקי לעומת כוח באלכסון) תלויה באיזון בין שני האפקטים הללו - וזו בדיוק הסיבה שבשאלות כאלה נדרשת נימוק איכותי (לא רק חישוב), תוך התייחסות לשינוי בכוח הנורמל ובכוח האופקי גם יחד.