התנגשויות חוזרות

תנועה מחזורית עם אובדן אנרגיה קבוע לחיכוך - גובה כפונקציה של מספר המעברים

בבעיה מסוג זה, גוף מחליק על מסילה שחלקה כולל קטע מחוספס קבוע (למשל BC), ומתנגש באופן אלסטי בקצה המסילה (קיר, למשל) - כלומר גודל מהירותו נשמר בהתנגשות, רק כיוונה מתהפך. הגוף חוזר וחולף שוב ושוב על אותו הקטע המחוספס, ובכל מעבר "מאבד" כמות קבועה של אנרגיה לחיכוך - כתוצאה מכך, הגובה המרבי שאליו הוא מגיע בכל סיבוב הולך וקטן בהדרגה.

עבודת החיכוך בסיבוב אחד (הלוך וחזור)

בכל מעבר בודד על הקטע המחוספס (אורכו קבוע, ללא תלות בגובה השחרור), עבודת החיכוך זהה:

$$ W_f = -\mu mg\cos(i)\cdot L $$

(כאשר i הוא זווית השיפוע של הקטע, ו-L אורכו). בסיבוב שלם (מהגובה ההתחלתי, דרך הקטע המחוספס, ובחזרה למעלה) הגוף עובר על הקטע המחוספס פעמיים - פעם אחת בירידה ופעם אחת בעלייה. נסמן ב-\( W_1 \) את עבודת החיכוך הכוללת (בערך מוחלט) שהצטברה בסיבוב שלם אחד.

מדוע הגובה הוא פונקציה ליניארית של מספר המעברים

מכיוון שכמות האנרגיה שאובדת בכל סיבוב שלם קבועה (אינה תלויה בגובה הנוכחי), ניתן לרשום את שימור האנרגיה (עם איבוד) בין סיבוב למשנהו:

$$ mgh_n = mgh_{n-1} - |W_1| $$

זהו יחס נסיגה ליניארי - כל גובה קטן מקודמו באותה כמות קבועה. כתוצאה מכך, \( h_n \) הוא פונקציה ליניארית ממש של n (מספר הסיבובים):

$$ h_n = h_0 - \frac{|W_1|}{mg}\cdot n $$

קריאת גרף hₙ מול n

גרף של \( h_n \) (ציר אנכי) כפונקציה של n (ציר אופקי) יהיה קו ישר יורד:

• חיתוך הציר האנכי (כאשר \( n=0 \)) נותן את הגובה ההתחלתי \( h_0 \).
• גודל השיפוע (בערך מוחלט) שווה לכמות האנרגיה (מחולקת ב-\( mg \)) שאובדת בכל סיבוב שלם - מכאן ניתן לחלץ את מקדם החיכוך μ, בהינתן מסת הגוף, זווית השיפוע ואורך הקטע המחוספס.

עבודת הכוח הנורמלי בהתנגשות עם הקיר

בהתנגשות אלסטית עם קיר (או משטח קשיח), הכוח הנורמלי מהקיר פועל בניצב לתנועת הגוף ברגע המגע (או, אם ההתנגשות ראש-בראש, ההעתק ברגע הפגיעה עצמה שואף לאפס). מכיוון שגודל המהירות (ולכן האנרגיה הקינטית) נשמר במלואו לפני ואחרי ההתנגשות, עבודת הכוח הנורמלי מהקיר על הגוף שווה בדיוק לאפס - הקיר רק משנה את כיוון התנועה, ואינו משנה את האנרגיה הקינטית של הגוף.