מסות מסתובבות מרימות משקולת

מסות מסתובבות המרימות משקולת - שילוב מהירות זוויתית וחוט

מערכת נפוצה: גוף (או מספר גופים) מסתובב במסלול מעגלי אופקי, כשהחוט המחזיק אותו עובר דרך ציר מרכזי וממשיך כלפי מטה, שם הוא תומך במשקולת תלויה. ככל שהמערכת מסתובבת מהר יותר (מהירות זוויתית גדולה יותר), כך גדל הכוח הנדרש כדי לשמור על התנועה המעגלית - כוח זה מגיע ממתיחות החוט, המקושרת ישירות למשקל המשקולת התלויה.

מתיחות החוט - שני צדדים של אותה משוואה

מצד אחד, מתיחות החוט מספקת את הכוח המרכזי לגוף המסתובב:

$$ T = m\omega^2R $$

מצד שני, אותה מתיחות תומכת (או מרימה) את המשקולת התלויה. אם המשקולת נמצאת בשיווי משקל (המערכת מסתובבת במהירות זוויתית קבועה כזו שהמשקולת אינה זזה):

$$ T = Mg $$

שילוב שתי המשוואות

מכיוון שמדובר באותו חוט (מתיחות אחידה לאורכו, בהנחת חוט וגלגלת חסרי מסה וחיכוך), ניתן להשוות בין שני הביטויים למתיחות:

$$ m\omega^2R = Mg \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{Mg}{mR}} $$

זהו הקשר המרכזי הקובע את המהירות הזוויתית הנדרשת כדי לשמור על המשקולת בשיווי משקל.

מה קורה אם המהירות הזוויתית משתנה?

• אם המהירות הזוויתית גדולה מהערך הנדרש - מתיחות החוט (התלויה ב-\( \omega^2 \)) גדולה ממשקל המשקולת, והמשקולת עולה (מואצת כלפי מעלה).
• אם המהירות הזוויתית קטנה מהערך הנדרש - מתיחות החוט קטנה ממשקל המשקולת, והמשקולת יורדת (מואצת כלפי מטה).

הרחבה - מספר גופים מסתובבים

כאשר יותר מגוף אחד מסתובב (למשל, שני גופים במרחקים שונים מהציר, מחוברים באותו חוט או במוטות נפרדים), יש לכתוב משוואת כוח מרכזי נפרדת לכל גוף (עם הרדיוס והמסה המתאימים לו), ולזכור שלכולם אותה מהירות זוויתית ω (אך מהירויות משיקיות שונות, התלויות ברדיוס של כל אחד).