כדור על מסילה מעגלית

כדור על מסילה מעגלית - קשר ליניארי בין כוח המסילה לגובה השחרור

כדור מוחלק ממנוחה מגובה h מעל הקרקע, לאורך מסילה חלקה (חלקה, ללא חיכוך), ומגיע לנקודה תחתונה קבועה על המסילה (למשל, תחתית לולאה או קשת מעגלית). בנקודה זו, המסילה מפעילה על הכדור כוח נורמלי \( N_C \). מטרת הניסוי: לחזור על השחרור מגבהים שונים, למדוד את \( N_C \) בכל פעם, ולמצוא מתוך כך את רדיוס המסילה ומסת הכדור.

שלב 1 - שימור אנרגיה למציאת מהירות הכדור בנקודה התחתונה

מכיוון שהמסילה חלקה, שימור אנרגיה נותן את מהירות הכדור בנקודה התחתונה (בגובה \( h_C \) קבוע מעל הקרקע):

$$ mg(h-h_C) = \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad v^2 = 2g(h-h_C) $$

שלב 2 - החוק השני של ניוטון בנקודה התחתונה

בנקודה התחתונה של המסילה, שני כוחות פועלים על הכדור בציר הרדיאלי (האנכי, באותה נקודה): המשקל (כלפי מטה) והכוח הנורמלי מהמסילה (כלפי מעלה). הכוח השקול חייב להיות מכוון כלפי מעלה (לכיוון מרכז המסילה), ולכן:

$$ N_C - mg = \frac{mv^2}{R} \quad \Rightarrow \quad N_C = mg + \frac{mv^2}{R} $$

שלב 3 - שילוב למשוואה ליניארית

הצבת ביטוי המהירות (מהשלב הראשון) בביטוי הכוח נותנת:

$$ N_C = mg + \frac{2mg}{R}(h-h_C) = \frac{2mg}{R}\,h + \left(mg - \frac{2mg}{R}h_C\right) $$

זהו קשר ליניארי בין \( N_C \) (ציר אנכי) לבין h (ציר אופקי) - שיפוע הישר שווה ל-\( \frac{2mg}{R} \), וניתן לחלץ ממנו את רדיוס המסילה R (בהינתן המסה m, או להפך).

שלב 4 - שימוש בגרף הניסיוני

משרטטים את תוצאות המדידה (\( N_C \) כפונקציה של h) ומעבירים ישר מקרב. משיפוע הישר הנמדד ניתן לחלץ את היחס \( \frac{m}{R} \) (או R בעצמו, אם m נתונה בנפרד ממקור אחר). מציאת חיתוך הישר עם הציר האנכי (או האופקי) מספקת משוואה נוספת, שמאפשרת - בשילוב עם השיפוע - לפתור עבור שני הנעלמים (למשל m ו-R) בנפרד.

שלב 5 - תנאי מינימלי להישארות על המסילה

אם נדרש שהכדור (או מנגנון הנעול על ידו) ימשיך לפעול בכוח מינימלי מסוים, יש למצוא את הגובה המינימלי \( h_{min} \) שממנו יש לשחרר את הכדור כדי שהכוח \( N_C \) בנקודה התחתונה לא יפחת מהערך הנדרש - זהו פשוט פתרון המשוואה הליניארית שנמצאה עבור h, בהצבת הערך המינימלי הנדרש של \( N_C \).