מטוטלת מהירות ותאוצה

מטוטלת ענק - מהירות, תאוצה וכוח שקול בנקודה נמוכה

גוף (או קבוצת גופים, כמו נוסעים בנדנדת ענק) תלוי בחוטים מנקודה קבועה, ומשתחרר ממנוחה מנקודה גבוהה. הוא מתנדנד לאורך קשת מעגלית עד לנקודה הנמוכה ביותר במסלולו.

שלב 1 - מהירות בנקודה הנמוכה (שימור אנרגיה)

בהזנחת חיכוך אוויר ומסת החוטים, האנרגיה המכנית נשמרת מנקודת השחרור ועד לנקודה הנמוכה. ההפרש בגובה בין שתי הנקודות (לא הרדיוס עצמו!) הוא שקובע את המהירות:

$$ mg\Delta h = \frac{1}{2}mv^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2g\Delta h} $$

כאשר \( \Delta h \) הוא ההפרש בגובה בין נקודת השחרור לנקודה הנמוכה - יש לחשב אותו מהנתונים הגאומטריים (למשל, גובה המגדל וגובה נקודת העגינה, לא רק הרדיוס).

שלב 2 - תאוצה צנטריפטלית בנקודה הנמוכה

בנקודה הנמוכה, כל התאוצה מכוונת כלפי מעלה (לכיוון מרכז המעגל), וגודלה:

$$ a_c = \frac{v^2}{R} $$

כאשר R הוא רדיוס המסלול המעגלי (אורך החוטים/המתקן, לא בהכרח זהה לגובה השחרור).

שלב 3 - שקול הכוחות בנקודה הנמוכה

לפי החוק השני של ניוטון, הכוח השקול הפועל על הגוף בנקודה הנמוכה שווה למכפלת מסתו בתאוצה הצנטריפטלית שנמצאה, ומכוון גם הוא כלפי מעלה (לכיוון מרכז המעגל):

$$ F_{net} = ma_c = \frac{mv^2}{R} $$

שימו לב: זהו הכוח השקול (למשל, ההפרש בין מתיחות החוטים לכוח הכובד) - לא בהכרח כוח בודד יחיד. אם נדרש למצוא את מתיחות החוטים עצמה, יש לחסר/לחבר את כוח הכובד בהתאם למשוואת ניוטון המלאה: \( T - mg = F_{net} \).

שלב 4 - כיוון התאוצה בנקודה שאינה הנמוכה ביותר

בכל נקודה על המסלול המעגלי (לא רק בתחתית), כיוון התאוצה הכולל אינו בהכרח פשוט "כלפי מעלה" - יש לפרק אותו לשני רכיבים:

• רכיב רדיאלי (לכיוון מרכז המעגל) - נובע מהתנועה המעגלית עצמה, קיים תמיד כל עוד יש מהירות.
• רכיב משיקי (לאורך כיוון התנועה) - קיים רק כאשר המהירות משתנה בגודלה (למשל, כשהגוף עדיין לא הגיע לנקודה הנמוכה ביותר, ורכיב כוח הכובד לאורך המסלול עדיין מאיץ או מאט אותו).

לכן, בנקודה שאינה נמוכה ביותר, כיוון התאוצה הכוללת הוא שילוב (סכום וקטורי) של הרכיב הרדיאלי (תמיד לכיוון המרכז) והרכיב המשיקי (לכיוון התנועה או נגדה, בהתאם אם הגוף מאיץ או מאט). כדי לזהות איזה משמונת הכיוונים האפשריים (בתרשים רב-כיווני) מתאר את התאוצה בנקודה נתונה, יש לקבוע תחילה אם הגוף מאיץ או מאט באותה נקודה (לפי מיקומו ביחס לנקודה הנמוכה), ולשלב זאת עם כיוון הרדיוס באותה נקודה.