מטוטלת ונפילה חופשית

כדור מטוטלת מתנגש בכדור על שולחן - שילוב תנע וקינמטיקה

מערכת נפוצה מסוג זה: כדור גדול (מסה M) תלוי בחוט מנקודה קבועה, ונוגע בכדור קטן (מסה m) המונח על קצה שולחן מוגבה. הכדור הגדול מוסט הצידה לגובה מסוים ומשוחרר ממנוחה - הוא מתנדנד כמטוטלת ופוגע בכדור הקטן בתחתית התנועה. לאחר ההתנגשות, הכדור הקטן ממשיך כגוף בזריקה אופקית מעל השולחן.

שלב 1 - מהירות הכדור הגדול לפני הפגיעה (שימור אנרגיה)

מגובה השחרור h, ניתן למצוא את מהירות הכדור הגדול ברגע הפגיעה באמצעות שימור אנרגיה מכנית (המטוטלת נעה ללא חיכוך):

$$ Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh} $$

שלב 2 - שימור תנע בהתנגשות

ברגע הפגיעה עצמה, ההתנגשות נחשבת רגעית - ניתן להזניח כוחות חיצוניים (כוח הכובד, מתיחות החוט) באותו רגע קצר, ולהשתמש בשימור תנע:

$$ Mv = Mv' + mu $$

כאשר \( v' \) היא מהירות הכדור הגדול מיד לאחר ההתנגשות (אם ידועה או ניתנת למדידה), ו-u היא מהירות הכדור הקטן מיד לאחר ההתנגשות - זו שיוצרת את הזריקה האופקית. שימו לב: אין להניח שההתנגשות אלסטית או פלסטית אלא אם נאמר כך במפורש - לעיתים גודל \( v' \) ניתן כנתון נוסף בשאלה (למשל, נמדד כשבר של v).

שלב 3 - זריקה אופקית של הכדור הקטן

לאחר ההתנגשות, הכדור הקטן עוזב את קצה השולחן במהירות אופקית u, ומבצע זריקה אופקית מגובה H (גובה השולחן מעל הרצפה) עד לפגיעה ברצפה במרחק אופקי d מקצה השולחן:

$$ H = \frac{1}{2}gt^2 \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2H}{g}} $$

$$ d = ut \quad \Rightarrow \quad d = u\sqrt{\frac{2H}{g}} $$

בניית קשר ליניארי בין d² לבין h

שילוב שלושת השלבים (v תלוי ב-h, u תלוי ב-v לפי שימור תנע, ו-d תלוי ב-u) נותן בסופו של דבר קשר מהצורה:

$$ d^2 = C \cdot h $$

כאשר C הוא קבוע התלוי בפרמטרים הקבועים של המערכת (המסות M ו-m, גובה השולחן H, ותאוצת הכובד g) - אך אינו תלוי ב-h עצמו. זהו קשר ליניארי בין \( d^2 \) לבין h - כלומר, גרף \( d^2 \) כפונקציה של h הוא קו ישר העובר דרך הראשית, ששיפועו שווה לקבוע C.

בדיקת התאמת נתונים ניסיוניים לקשר תיאורטי

כדי לבדוק אם תוצאות מדידה (ערכי h ו-d שנמדדו בכמה ניסויים) תואמות לקשר תיאורטי שהוסק, יש:

• לחשב \( d^2 \) עבור כל מדידה, ולשרטט גרף של \( d^2 \) כפונקציה של h.
• לבדוק שהנקודות אכן יוצרות קו ישר (או קרוב לכך), ושהוא עובר (או קרוב לעבור) דרך הראשית - כפי שהתיאוריה חוזה.
• לחשב את שיפוע הגרף הניסיוני, ולהשוות אותו לערך הקבוע C שחושב תיאורטית מנתוני המערכת (M, m, H) - התאמה בין השניים מאמתת את הקשר.