גרף מהירות

מסילה עם קטע מחוספס - קשר ליניארי בין v² לגובה שחרור

בבעיה מסוג זה גוף משתחרר ממנוחה מגבהים שונים \( H_A \) על מסילה, וממשיך לאורכה (חלק ממנה חלק, חלק מחוספס) עד לנקודה קבועה D. עבור כל גובה שחרור, נמדדת מהירות הגוף \( v_D \) בהגיעו ל-D.

מדוע גובה השחרור משפיע על המהירות בנקודה הקבועה

ככל שהגוף משתחרר מגובה רב יותר, יש לו יותר אנרגיה פוטנציאלית כובדית בהתחלה. מכיוון שאורך הקטע המחוספס (BC) קבוע בכל הניסויים (אינו תלוי בגובה השחרור), גם עבודת החיכוך (וכמות האנרגיה שאובדת כחום) קבועה בכל פעם. לכן, כל תוספת אנרגיה פוטנציאלית התחלתית מומרת במלואה לאנרגיה קינטית נוספת בנקודה D - וכתוצאה מכך, מהירותו של הגוף ב-D (וליתר דיוק, ריבוע מהירותו) גדלה יחד עם גובה השחרור.

גזירת הקשר הליניארי בין v² ל-H

שימור אנרגיה (עם איבוד קבוע לחיכוך) בין נקודת השחרור A לנקודה D נותן:

$$ MgH_A = MgH_D + \frac{1}{2}Mv_D^2 + |W_f| $$

סידור מחדש עבור \( v_D^2 \):

$$ v_D^2 = 2gH_A - \left(2gH_D + \frac{2|W_f|}{M}\right) $$

זהו קשר ליניארי בין \( v_D^2 \) (ציר אנכי) לבין \( H_A \) (ציר אופקי) - שיפוע הישר הוא \( 2g \) (קבוע, אינו תלוי בפרטי המערכת), וחיתוך הציר האנכי (כאשר \( H_A=0 \), אף שזה מחוץ לתחום הפיזיקלי הריאלי) קשור לגובה D ולעבודת החיכוך גם יחד.

מציאת הגובה המינימלי הנדרש להגעה לנקודה D

הגובה המינימלי הוא הגובה שבו הגוף "בקושי" מגיע לנקודה D, כלומר מגיע אליה עם מהירות אפס (\( v_D^2=0 \)). ניתן למצוא גובה זה על ידי הארכת הישר בגרף (אקסטרפולציה) עד לנקודה שבה \( v_D^2=0 \), וקריאת ערך \( H_A \) המתאים באותה נקודה.

חישוב עבודת החיכוך מתוך נקודת נתונים בודדת

בהינתן זוג ערכים ידוע של \( H_A \) ו-\( v_D \) (וכן גובה D וגודל מסת הגוף M), ניתן לחשב את עבודת החיכוך ישירות משימור האנרגיה, ללא צורך בגרף כלל:

$$ W_f = Mg(H_A-H_D) - \frac{1}{2}Mv_D^2 $$

יש לזכור שהתוצאה המתקבלת שלילית (עבודת חיכוך היא תמיד שלילית) - הערך המוחלט שלה מבטא את כמות האנרגיה שהומרה לחום.