עבודת כוח חיכוך

מסילה משולבת - חלק חלק, חלק מחוספס, וקפיץ

בבעיה מסוג זה, גוף נע לאורך מסילה המחולקת למספר קטעים שונים - חלקם חלקים (ללא חיכוך) וחלקם מחוספסים (עם חיכוך), ובסופה קפיץ הבולם את תנועת הגוף. הדרך הבטוחה ביותר לנתח מערכת כזו היא בניית "טבלת אנרגיה" הבודקת אילו סוגי אנרגיה קיימים (וגדולים מאפס) בכל נקודה מרכזית לאורך המסילה.

בניית טבלת אנרגיה

בכל נקודה יש לבדוק שלושה סוגי אנרגיה:

• אנרגיה קינטית - קיימת (גדולה מאפס) בכל נקודה שבה הגוף נמצא בתנועה; אפסית רק בנקודות עצירה (התחלה, סוף, או עצירה רגעית).
• אנרגיה פוטנציאלית כובדית - תלויה בגובה הגוף ביחס לרמת ייחוס נתונה; יכולה להיות חיובית, שלילית, או אפס (בגובה הייחוס עצמו).
• אנרגיה פוטנציאלית אלסטית - קיימת רק כאשר הגוף במגע עם הקפיץ ודוחס/מותח אותו; אפסית בכל נקודה אחרת.

שימור אנרגיה בקטעים חלקים, ואיבוד אנרגיה בקטעים מחוספסים

בקטע חלק (ללא חיכוך), האנרגיה המכנית הכוללת (קינטית + פוטנציאלית כובדית + פוטנציאלית אלסטית) נשמרת במלואה בין שתי נקודות כלשהן על אותו קטע:

$$ E_{k,1}+E_{p,1} = E_{k,2}+E_{p,2} $$

בקטע מחוספס, יש להוסיף למשוואה את עבודת החיכוך (השלילית) - האנרגיה המכנית ה"נעלמת" הופכת לחום:

$$ E_{k,1}+E_{p,1} + W_f = E_{k,2}+E_{p,2} $$

$$ W_f = -\mu_k mg\, d $$

כאשר d הוא אורך הקטע המחוספס שעבר הגוף.

מציאת מהירות בנקודה על המסילה

כדי למצוא את מהירות הגוף בנקודה מסוימת, יש "לעקוב" אחר האנרגיה מנקודת ההתחלה (שם הכל ידוע, למשל הגוף במנוחה בגובה נתון) ולחשב את השינויים בכל קטע - חיסור אנרגיית החיכוך שאבדה בקטעים המחוספסים, ושימור מלא בקטעים החלקים - עד לנקודה המבוקשת.

מציאת קבוע הקפיץ מתוך העצירה הרגעית

ברגע שהגוף עוצר רגעית (לאחר דחיסת הקפיץ), כל האנרגיה הקינטית שהייתה לו הפכה לאנרגיה אלסטית בקפיץ (בניכוי אנרגיה שאבדה לחיכוך בקטע שבו נדחס הקפיץ, אם קיים כזה):

$$ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2 + |W_f| $$

מכאן ניתן לחלץ את קבוע הקפיץ k, בהינתן דחיסתו המקסימלית x.

גובה החזרה לאחר ההתנתקות מהקפיץ

לאחר שהקפיץ דוחף את הגוף בחזרה ומשחרר אותו (בנקודה שבה הקפיץ חוזר לאורכו הטבעי), יש לחזור על אותו תהליך מעקב אנרגיה, בכיוון ההפוך, תוך התחשבות שוב באיבוד אנרגיה לחיכוך בכל קטע מחוספס שהגוף עובר בדרכו חזרה. הגובה הסופי שהגוף מגיע אליו יהיה נמוך יותר מגובה ההתחלה, בגלל אנרגיית החיכוך שאבדה (הלוך ושוב) לאורך הדרך.

השפעת קבוע קפיץ שונה על גובה החזרה

שינוי בקבוע הקפיץ (k) אינו משנה את כמות האנרגיה הכוללת שאבדה לחיכוך במהלך התנועה (שכן זו תלויה רק במרחק שעבר הגוף על הקטעים המחוספסים, לא בקפיץ עצמו) - כל עוד הגוף עדיין עוצר בדיוק באותה נקודה על המסילה (רק דוחס את הקפיץ למרחק שונה). לכן, אם הגוף חוזר וחולף באותם קטעים מחוספסים בדיוק, גובה החזרה הסופי יהיה זהה, ללא תלות בקבוע הקפיץ.