מומנט התמד / מומנט אינרציה

מומנט התמד (נקרא גם מומנט אינרציה) מתאר התנגדות גוף לתאוצה זוויתית, כמו שמסה מתארת התנגדות גוף לתאוצה קווית. ככל שמסת הגוף קטנה יותר ומצומצמת יותר, כך יקטן גודל זה.

מומנט התמד של גוף נקודתי מחושב ע״י הכפלת המסה במרחק מציר הסיבוב בריבוע. כדי להבין בצורה אינטואטיבית את הסיבה לכך, נדמיין מסה שאנו צריכים לסובב במעגל. ככל שהמסה תהיה כבדה יותר, וככל שהמעגל יהיה גדול יותר, כך יהיה לנו קשה יותר להניע את המסה.

נכיר מספר נוסחאות שונות לחישוב מומנט התמד של גוף:

(1) מומנט התמד של גוף נקודתי
מומנט ההתמד של גוף נקודתי סביב ציר יהיה:

I_{point}=mR^2

(2) מומנט התמד של גוף קשיח (גוף שאינו נקודתי)
עלינו להכיר בעל פה את מומנט ההתמד של מספר גופים קשיחים: טבעת, דיסקה, מוט וכדור.

I_{ring}=mR^2 \ , \ I_{disk}=\frac12mR^2 \ , \ I_{rod}=\frac1{12}mR^2 \ , \ I_{ball}=\frac25mR^2  

נוסחאות אלה מתארות את מומנט ההתמד של הגוף סביב מרכז המסה שלו. במקרה שהגוף מסתובב סביב ציר אחר יש להוסיף לחישוב את משפט שטיינר.

(3) חישוב מומנט התמד בעזרת אינטגרל
כאשר איננו יודעים את נוסחת מומנט ההתמד של הגוף, נוכל לחשב אותה בעזרת האינטגרל

I=\int r^2\cdot dm
\\
כאשר
\\
dm=\sigma\cdot ds

למשל, לחישוב מומנט ההתמד של דסקה סביב מרכזה נבצע את החישוב

I=\int r^2\cdot dm=\int_0^{2\pi}\int_0^R r^2\cdot \frac m{\pi R^2}\cdot dr\cdot rd\theta
\\
=\frac m{\pi R^2}2\pi\int  _0 ^R r^3 dr=\frac {2m}{R^2}\frac {R^4}{4}=\frac12 mR^2

(4) חישוב אדטיבי של מומנט התמד
כאשר יש לנו מספר גופים, נחשב את מומנט ההתמד של כלל הגופים כסכימה של כל מומנט התמד בנפרד (בהנחה שכל הגופים מסתובבים סביב אותו הציר).
בנוסף, במקרה של גוף עם חור, נוכל ״לחסר״ את מומנט ההתמד של החור ממומנט ההתמד של הגוף.