מערכת טראפיסט

מערכת TRAPPIST-1 - חוק קפלר, השוואת גופים, ואנרגיית מילוט

מערכת כוכבי לכת המקיפים כוכב יחיד (למשל, מערכת TRAPPIST-1) מספקת הזדמנות מצוינת להשתמש בחוק קפלר השלישי, בהשוואת כוחות בין מסלולים שונים, ובחישובי אנרגיה.

שלב 1 - השלמת טבלת נתונים חסרים

בהינתן טבלה עם ערכי רדיוס מסלול r וזמן מחזור T (חלקם חסרים) עבור מספר כוכבי לכת המקיפים את אותו כוכב, ניתן להשלים ערכים חסרים באמצעות היחס הליניארי:

$$ \frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{r_1^3}{r_2^3} $$

יש למצוא שני כוכבי לכת שכל הנתונים שלהם ידועים, לחשב את קבוע היחס \( \frac{T^2}{r^3} \) (זהה לכולם, כמסקנה מחוק קפלר), ולהשתמש בו כדי להשלים את הערכים החסרים.

שלב 2 - בדיקת טענה על יחס מרחק-מהירות

טענה נפוצה שיש לבחון: "ככל שכוכב הלכת רחוק יותר מהכוכב המרכזי, כך מהירותו גדולה יותר". טענה זו שגויה - למעשה ההפך הוא הנכון. ממשוואת הכוח המרכזי:

$$ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} $$

ניתן לראות שהמהירות המסלולית קטנה ככל שהרדיוס r גדל - כוכב לכת רחוק יותר נע לאט יותר (בדיוק כפי שכוכבי הלכת החיצוניים במערכת השמש נעים לאט יותר מכוכבי הלכת הפנימיים).

שלב 3 - תאוצת כבידה על כוכב לכת ספציפי, ממדדי קפלר בלבד

ניתן למצוא את תאוצת הכבידה על כוכב לכת (למשל, כוכב b) ישירות מנתוני r ו-T שלו, ללא צורך לדעת את מסת הכוכב המרכזי M בנפרד - באמצעות שילוב משוואת הכוח המרכזי עם הביטוי למהירות זוויתית:

$$ a=\frac{v^2}{r}=\frac{4\pi^2 r}{T^2} $$

שלב 4 - משקל גוף על פני כוכב הלכת

יש להבחין בין תאוצת הכבידה שחווה כוכב הלכת עצמו (מהכוכב המרכזי, בגלל תנועתו המסלולית) לבין משקלו של גוף העומד על פני כוכב הלכת - האחרון נקבע על ידי מסת כוכב הלכת עצמו (לא הכוכב המרכזי!) ורדיוסו שלו, ולכן אינו שווה בהכרח לתאוצה שחושבה בשלב הקודם.

שלב 5 - מציאת מסת הכוכב המרכזי

מנתוני r ו-T של כוכב לכת בודד, ניתן לחלץ את מסת הכוכב המרכזי ישירות מחוק קפלר השלישי:

$$ M=\frac{4\pi^2 r^3}{GT^2} $$

שלב 6 - השוואת אנרגיית מילוט בין שתי מערכות

כדי להשוות בין האנרגיה הדרושה למילוט ממסלול אחד (למשל, סביב השמש) לבין מילוט ממסלול אחר (סביב כוכב אחר, TRAPPIST-1) עבור אליפסות בעלות אותו ציר ראשי, יש להשוות את האנרגיה הכוללת (סכום קינטית ופוטנציאלית) הדרושה כדי "לשחרר" את הגוף לאינסוף - ככל שהכוכב המרכזי כבד יותר (כוח כבידה חזק יותר), כך תידרש אנרגיה רבה יותר למילוט, גם אם צורת המסלול (הציר הראשי) זהה.