רמבו יורה קליעים להשאר באוויר

קליעים היורים כדי להישאר באוויר - מסה יוצאת מגוף נייח

מכשיר (או אדם, בסגנון "רמבו") יורה קליעים כלפי מטה ברציפות, בקצב קבוע, כדי לרחף באוויר (הכוח מהקליעים הנפלטים מאזן את כוח הכובד על הגוף היורה). זהו מקרה קלאסי של מסה "יוצאת" מהגוף העיקרי.

שלב 1 - משוואת מסה משתנה

המשוואה הכללית למסה משתנה:

$$ F_{ext} = M\frac{dv}{dt} + U\frac{dm}{dt} $$

כאשר M היא מסת הגוף היורה (המסה ה"גדולה"), U היא מהירות הקליעים היחסית לגוף היורה (מהירות הקליע פחות מהירות הגוף), ו-\( \frac{dm}{dt} \) קצב פליטת המסה (חיובי, שכן מסה יוצאת).

שלב 2 - תנאי הריחוף

כדי שהגוף היורה יישאר נייח באוויר (לא עולה ולא יורד), נדרש \( \frac{dv}{dt}=0 \) (אין תאוצה) - האיבר הראשון במשוואה מתאפס. הכוח החיצוני הפועל על הגוף היורה הוא כוח הכובד (\( F_{ext}=-Mg \)), ולכן:

$$ -Mg = U\frac{dm}{dt} $$

מכאן ניתן לחלץ את הקשר בין קצב ירי הקליעים (\( \frac{dm}{dt} \)) למהירות היחסית שלהם U, כדי לשמור על ריחוף.

שלב 3 - כיווני הסימנים (חשוב מאוד)

מכיוון שהקליעים נורים כלפי מטה (כדי לדחוף את הגוף היורה כלפי מעלה, בהתאם לחוק השלישי של ניוטון), מהירותם היחסית U שלילית (בכיוון הפוך לכיוון החיובי, שהוא בדרך כלל כלפי מעלה). זהו בדיוק מה ש"מייצר" את הכוח החיובי (כלפי מעלה) הדרוש לאיזון כוח הכובד - סימני U ו-\( \frac{dm}{dt} \) חייבים להתאים כך שהאיבר \( U\frac{dm}{dt} \) יוצא חיובי בכיוון הנכון.

נקודת מפתח - "מסה יוצאת" תמיד עם קצב חיובי

כלל אצבע: כאשר מסה יוצאת מהגוף (כמו קליעים נפלטים, גז דלק נשרף בטיל), קצב שינוי המסה \( \frac{dm}{dt} \) מוגדר חיובי (אף על פי שמסת הגוף העיקרי בפועל קטנה) - ההסכם הזה שומר על עקביות בכיווני המשוואה, ומבטיח שכיוון הכוח הנוצר מהמסה הנפלטת יוצא נכון אוטומטית מהמשוואה, מבלי צורך "לנחש" כיוונים בנפרד.