מ.מ. של ריבוע קטום

מרכז מסה של ריבוע קטום - שיטת "חיסור שטח"

ריבוע (או מלבן) אחיד שממנו נחתך ריבוע/מלבן קטן יותר (לרוב בפינה או באזור מסוים) - יש למצוא את מרכז המסה של הצורה הנותרת ("הקטומה"). השיטה היעילה ביותר היא "חיסור מרכז מסה", המבוססת על עקרון הסופרפוזיציה.

העיקרון - התייחסות לחור כאל "מסה שלילית"

ניתן לחשוב על הצורה הקטומה כאל הריבוע המלא (לפני החיתוך) בתוספת "מסה שלילית" במקום החלק שנחתך. שיטה זו מאפשרת להשתמש בנוסחת מרכז המסה הרגילה, עם מסה שלילית עבור החלק החסר:

$$ x_{cm} = \frac{m_{full}x_{full} - m_{cut}x_{cut}}{m_{full}-m_{cut}} $$

שלב 1 - מציאת מסות (או שטחים) יחסיים

מכיוון שהצורה אחידה (צפיפות משטחית קבועה), ניתן להשתמש בשטחים במקום מסות (המסה פרופורציונית לשטח):

• \( A_{full} \) - שטח הריבוע המלא (לפני החיתוך).
• \( A_{cut} \) - שטח החלק שנחתך.
• \( A_{full}-A_{cut} \) - שטח הצורה הסופית (הקטומה).

שלב 2 - מציאת מרכזי המסה של כל חלק בנפרד

יש למצוא את קואורדינטות מרכז המסה של הריבוע המלא (בדרך כלל נקודת המרכז הגיאומטרי שלו) ואת קואורדינטות מרכז המסה של החלק שנחתך (מרכזו הגיאומטרי), ביחס לאותה מערכת צירים.

שלב 3 - הצבה בנוסחת החיסור

עבור כל ציר בנפרד (x ו-y):

$$ x_{cm} = \frac{A_{full}\cdot x_{full} - A_{cut}\cdot x_{cut}}{A_{full}-A_{cut}} $$

$$ y_{cm} = \frac{A_{full}\cdot y_{full} - A_{cut}\cdot y_{cut}}{A_{full}-A_{cut}} $$

יתרון השיטה

שיטה זו נמנעת מהצורך באינטגרציה ישירה על הצורה המורכבת (הלא-סימטרית) - במקום זאת, מפרקים את הבעיה לשתי צורות פשוטות וסימטריות (שמרכז המסה שלהן ידוע באופן אינטואיטיבי), ומשתמשים בעיקרון הסופרפוזיציה (חיבור/חיסור תרומות) כדי להרכיב את התשובה הסופית.