מומנט התמד של דיסקה אחידה

מומנט התמד של דיסקה אחידה - גזירה באינטגרציה

מומנט ההתמד של גוף מוגדר כסכום (אינטגרל) של תרומת כל אלמנט מסה זעיר בגוף, כפול מרחקו בריבוע מציר הסיבוב:

$$ I = \int r^2\,dm $$

שלב 1 - חלוקת הדיסקה לטבעות דקות

עבור דיסקה אחידה (צפיפות משטחית קבועה σ) ברדיוס R, הדרך הנוחה ביותר לבצע את האינטגרציה היא חלוקת הדיסקה לטבעות דקות קונצנטריות, כל אחת ברדיוס r ועובי \( dr \). שטח כל טבעת:

$$ dA = 2\pi r\,dr $$

שלב 2 - מסת כל טבעת

מסת הטבעת הדקה (בהינתן צפיפות משטחית אחידה \( \sigma=\frac{M}{\pi R^2} \)):

$$ dm = \sigma\,dA = \sigma\cdot 2\pi r\,dr $$

שלב 3 - ביצוע האינטגרל

כל נקודה על הטבעת נמצאת במרחק r בדיוק מהציר (כל הטבעת "אחידה" מבחינת מרחק מהמרכז), ולכן ניתן להציב ישירות באינטגרל המקורי:

$$ I = \int_0^R r^2\cdot\sigma\cdot 2\pi r\,dr = 2\pi\sigma\int_0^R r^3\,dr = 2\pi\sigma\cdot\frac{R^4}{4} $$

שלב 4 - הצבת הצפיפות וקבלת התוצאה הסופית

הצבת \( \sigma=\frac{M}{\pi R^2} \) בביטוי:

$$ I = 2\pi\cdot\frac{M}{\pi R^2}\cdot\frac{R^4}{4} = \frac{1}{2}MR^2 $$

זוהי הנוסחה המוכרת למומנט ההתמד של דיסקה (או גליל) אחידים סביב ציר סימטריה המרכזי שלהם.

נקודת מפתח - מדוע טבעות ולא פסים?

הבחירה לחלק את הדיסקה לטבעות דקות (ולא, למשל, לפסים מלבניים דקים) נובעת מכך שבטבעת, כל הנקודות נמצאות במרחק זהה בדיוק מהציר (r) - מה שמאפשר להוציא את \( r^2 \) מחוץ לאינטגרל על הטבעת עצמה, ולהתמקד רק באינטגרציה על r מ-0 ל-R. חלוקה לפסים הייתה מצריכה טיפול נפרד בכל נקודה על הפס (מרחקים שונים מהציר), ומסבכת משמעותית את החישוב.