מציאת מסת שמש

מציאת מסת השמש מגרף T² מול r³ - חוק קפלר השלישי כגרף ליניארי

חוק קפלר השלישי קושר בין זמן המחזור T של גוף המקיף כוכב מרכזי לבין רדיוס מסלולו r:

$$ T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3 $$

זהו קשר ליניארי בין \( T^2 \) (ציר אנכי) לבין \( r^3 \) (ציר אופקי) - קו ישר העובר דרך הראשית, ששיפועו שווה בדיוק ל-\( \frac{4\pi^2}{GM} \).

שימוש בנתוני מספר כוכבי לכת למציאת מסת השמש

בהינתן נתוני r ו-T עבור מספר כוכבי לכת השונים המקיפים את אותה שמש, ניתן לחשב עבור כל אחד את הזוג \( (r^3,T^2) \), לשרטט אותם על גרף, ולהעביר ישר מקרב. שיפוע הישר הנמדד שווה ל-\( \frac{4\pi^2}{GM} \), ומכאן ניתן לחלץ ישירות את מסת השמש M:

$$ M=\frac{4\pi^2}{G\cdot\text{slope}} $$

מדוע משתמשים בגרף ולא בנקודת מדידה בודדת?

ניתן היה, באופן עקרוני, לחשב את M מזוג נתונים בודד \( (r,T) \) של כוכב לכת יחיד. אולם שימוש בכמה כוכבי לכת יחד ובגרף ליניארי מספק אימות לכך שהקשר התיאורטי (חוק קפלר השלישי) אכן מתקיים - אם כל הנקודות אכן נופלות על אותו קו ישר (ולא רק זוג בודד "במקרה" מתאים), זו הוכחה חזקה יותר לתקפות החוק ולדיוק המדידות, ובנוסף ההעברה של ישר מקרב דרך כמה נקודות ממצעת שגיאות מדידה אקראיות ונותנת הערכה מדויקת יותר עבור M מאשר חישוב מנקודה בודדת.

שיטת פתרון

1. עבור כל כוכב לכת בנתונים, חשבו את \( r^3 \) ואת \( T^2 \) (שימו לב ליחידות בציר הגרף - לעיתים נתונות כבר בסקאלה מתאימה).
2. מצאו את שיפוע הגרף (מהנקודות הנתונות, או מקו מגמה נתון).
3. הציבו את השיפוע בנוסחה \( M=\frac{4\pi^2}{G\cdot\text{slope}} \) כדי למצוא את מסת הגוף המרכזי.