מומנט התמד של דיסקה לא אחידה

מומנט התמד של דיסקה לא אחידה - צפיפות תלוית רדיוס

כאשר צפיפות המשטח של הדיסקה אינה קבועה, אלא תלויה במרחק מהמרכז (\( \sigma(r) \) - למשל, הדיסקה צפופה יותר במרכז או בשוליים), יש להכניס את הפונקציה \( \sigma(r) \) לתוך האינטגרל, ולא להוציא אותה החוצה כקבוע.

שלב 1 - הגדרת פונקציית הצפיפות

נתונה פונקציה \( \sigma(r) \) המתארת כיצד הצפיפות המשטחית משתנה עם המרחק r מהמרכז (לדוגמה, \( \sigma(r)=\sigma_0\left(1+\frac{r}{R}\right) \), צפיפות הגדלה ככל שמתרחקים מהמרכז).

שלב 2 - מסת כל טבעת דקה, עם צפיפות משתנה

כמו במקרה האחיד, מחלקים לטבעות דקות ברדיוס r ועובי \( dr \), אך כעת מסת כל טבעת תלויה גם ב-\( \sigma(r) \) עצמה:

$$ dm = \sigma(r)\cdot 2\pi r\,dr $$

שלב 3 - האינטגרל למומנט ההתמד

$$ I = \int_0^R r^2\,dm = \int_0^R r^2\cdot\sigma(r)\cdot 2\pi r\,dr = 2\pi\int_0^R \sigma(r)\,r^3\,dr $$

יש להציב את הביטוי הספציפי של \( \sigma(r) \) בתוך האינטגרל ולפתור אותו במפורש - התוצאה תלויה בצורה המדויקת של פונקציית הצפיפות הנתונה.

שלב 4 - מציאת המסה הכוללת (אם נדרשת)

אם נדרש גם לבטא את I באמצעות המסה הכוללת M (ולא באמצעות \( \sigma_0 \) או קבועים אחרים), יש לחשב תחילה את המסה הכוללת באותה שיטה (ללא ה-\( r^2 \) הנוסף):

$$ M = \int_0^R \sigma(r)\cdot 2\pi r\,dr $$

ולבטא את הקבוע (\( \sigma_0 \) או דומה) באמצעות M, ואז להציב חזרה בביטוי של I.

נקודת מפתח

ההבדל המהותי בין דיסקה אחידה ללא אחידה הוא רק בכך שבמקרה הלא אחיד, \( \sigma(r) \) אינה קבועה ולכן אינה יכולה לצאת מחוץ לסימן האינטגרל - יש לטפל בה כפונקציה של המשתנה r לאורך כל האינטגרציה, מה שבדרך כלל משנה את המקדם המספרי הסופי (למשל, במקום \( \frac{1}{2}MR^2 \) עבור דיסקה אחידה).