הרמת חוט משולחן

הרמת חוט משולחן - מסה נכנסת לגוף נע

ערימת חוט (או שרשרת) מונחת על שולחן, וקצהו מורם כלפי מעלה במהירות קבועה. ככל שהחוט מורם, יותר ויותר ממנו "מצטרף" לחלק הנע (התלוי באוויר), בעוד החלק שעדיין על השולחן נשאר במנוחה. זהו מקרה קלאסי של "מסה נכנסת" לגוף הנע.

שלב 1 - זיהוי הגוף ה"גדול" וה"קטן"

הגוף ה"גדול" (הנבחן) הוא קטע החוט התלוי כבר באוויר, הנע במהירות v (כלפי מעלה). הגוף ה"קטן" הוא הקטע הזעיר של חוט המצטרף אליו בכל רגע מהשולחן - קטע זה נמצא במנוחה לפני שהוא מצטרף לתנועה.

שלב 2 - משוואת מסה משתנה

$$ F_{ext} = M\frac{dv}{dt} + U\frac{dm}{dt} $$

כאן, U היא מהירות הקטע המצטרף ביחס לקטע הנע - מכיוון שהקטע המצטרף במנוחה מוחלטת (מהירותו ביחס לקרקע אפס), ואילו הקטע הנע נע במהירות v, המהירות היחסית שלו (החדש) ביחס לישן היא \( U=0-v=-v \).

שלב 3 - קצב שינוי המסה (מסה נכנסת)

מכיוון שמסה נכנסת לגוף הנע (החוט הנע "גדל"), קצב שינוי המסה \( \frac{dm}{dt} \) מוגדר שלילי לפי הסכם הסימנים (בניגוד למסה יוצאת, שם הוא חיובי) - שכן מהירותו של הקטע הנכנס (0) קטנה ממהירות הגוף הנע (v), "מושכת" אותו לאחור.

שלב 4 - הכוח החיצוני הפועל

הכוח החיצוני על קטע החוט התלוי כולל את כוח הכובד (כלפי מטה) ואת כוח המתיחות/הרמה (F, כלפי מעלה - הכוח שמישהו מפעיל כדי להרים את החוט):

$$ F - mg = M\frac{dv}{dt} + U\frac{dm}{dt} $$

אם החוט מורם במהירות קבועה (\( \frac{dv}{dt}=0 \)), משוואה זו מפשטת ומאפשרת למצוא ישירות את הכוח F הדרוש בכל רגע נתון (התלוי במסת הקטע הנע באותו רגע, שגדלה ככל שיותר חוט מורם).

נקודת מפתח - "מסה נכנסת" תמיד עם קצב שלילי

כלל אצבע משלים לזה של "מסה יוצאת": כאשר מסה נכנסת לגוף (כמו קטע חוט חדש, גשם הנכנס לעגלה), קצב שינוי המסה \( \frac{dm}{dt} \) מוגדר שלילי - למרות שמסת הגוף העיקרי בפועל גדלה. הסכם זה (הפוך אינטואיטיבית) הוא שמבטיח שהמשוואה הכללית תעבוד נכון בשני המקרים (מסה נכנסת ויוצאת) ללא צורך לשנות את צורתה.