בגרות – חץ ותפוח

חץ הנתון בקשת דרוכה מכוון אופקית ימינה, לעבר תפוח המוחזק במנוחה. החץ והתפוח נמצאים בגובה \( 1.8\ \mathrm{m} \) מעל הקרקע. המרחק האופקי בין החץ לתפוח הוא \( 6\ \mathrm{m} \). ברגע \( t=0 \) החץ נורה מן הקשת במהירות אופקית שגודלה \( 20\ \mathrm{m/s} \), ובו-זמנית שוחרר התפוח ממנוחה. יש להזניח את השפעת האוויר, ולהתייחס לחץ ולתפוח כאל גופים נקודתיים.

א. החץ עובר את המרחק האופקי לפני שהתפוח פוגע בקרקע

זמן נפילת התפוח לקרקע (נפילה חופשית מגובה \( 1.8\ \mathrm{m} \)):

$$ 1.8 = \tfrac12 g t^2 \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2\times1.8}{10}} = 0.6\ \mathrm{s} $$

זמן שלוקח לחץ לעבור את המרחק האופקי \( 6\ \mathrm{m} \) (מהירותו האופקית קבועה, \( 20\ \mathrm{m/s} \)):

$$ t = \frac{6}{20} = 0.3\ \mathrm{s} $$

מכיוון ש-\( 0.3\ \mathrm{s} < 0.6\ \mathrm{s} \), החץ עובר את המרחק האופקי עד למיקום התפוח הרבה לפני שהתפוח מספיק לפגוע בקרקע.

ב. הסבר מדוע החץ פוגע בתפוח

משני הגופים (החץ והתפוח) משתחררים בדיוק באותו רגע, מאותו גובה בדיוק, וכל אחד מהם נמצא תחת השפעת אותה תאוצה בדיוק (\( g \), כלפי מטה) - ללא תלות בתנועתם האופקית. לכן בכל רגע נתון, שניהם צונחים בדיוק אותו מרחק אנכי ביחס למסלול הישר (חסר-הכובד) שהיו עוברים אילולא הכובד. מכיוון שהחץ כוון ישירות למיקום ההתחלתי של התפוח, ומכיוון ששניהם "נופלים" באותו קצב ביחס לקו הכיוון המקורי, החץ ימשיך להיות מכוון בדיוק למיקומו הנוכחי של התפוח בכל רגע - ולכן, ברגע שהחץ מגיע למרחק האופקי שבו נמצא התפוח (כפי שחושב בסעיף א'), הוא בהכרח יפגע בו.

ג. מהירות החץ ברגע הפגיעה בתפוח

הפגיעה מתרחשת ב-\( t=0.3\ \mathrm{s} \) (מסעיף א'). הרכיב האופקי של מהירות החץ קבוע:

$$ v_x = 20\ \mathrm{m/s} $$

הרכיב האנכי (כלפי מטה, נצבר מרגע הזריקה):

$$ v_y = gt = 10\times0.3 = 3\ \mathrm{m/s} $$

גודל המהירות הכולל:

$$ v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{20^2+3^2} \approx 20.2\ \mathrm{m/s} $$

כיוון המהירות ביחס לאופק:

$$ \tan\theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{3}{20} \quad\Rightarrow\quad \theta \approx 8.5^\circ \text{ מתחת לאופק} $$

ד. מהירות זריקת התפוח הנדרשת כאשר החץ נורה בשיפוע

הקשת יורה את החץ כך שהרכיב האופקי של מהירותו הוא עדיין \( 20\ \mathrm{m/s} \) (כמו קודם) והרכיב האנכי הוא \( 20\ \mathrm{m/s} \) כלפי מעלה. את התפוח זורקים כעת אנכית כלפי מעלה, ברגע יריית החץ, במהירות \( v_0 \) שיש למצוא.

מכיוון שהרכיב האופקי של החץ לא השתנה, הוא עדיין מגיע למרחק האופקי \( 6\ \mathrm{m} \) באותו רגע כמו קודם: \( t=0.3\ \mathrm{s} \).

ההיסט האנכי של החץ באותו זמן (ביחס לגובה ההתחלתי המשותף):

$$ \Delta y_{arrow} = 20\times0.3 - \tfrac12\times10\times0.3^2 = 6-0.45 = 5.55\ \mathrm{m} $$

כדי שהחץ יפגע בתפוח, על התפוח (הנע גם הוא תחת אותה תאוצה \( g \)) להימצא באותו היסט אנכי בדיוק ב-\( t=0.3\ \mathrm{s} \):

$$ v_0\times0.3 - \tfrac12\times10\times0.3^2 = 5.55 $$

$$ 0.3\,v_0 - 0.45 = 5.55 \quad\Rightarrow\quad v_0 = 20\ \mathrm{m/s} $$

יש לזרוק את התפוח כלפי מעלה במהירות \( 20\ \mathrm{m/s} \) - בדיוק שווה לרכיב האנכי של מהירות החץ. תוצאה זו הגיונית: מכיוון ששני הגופים נמצאים תחת אותה תאוצה, כדי שהתפוח יישאר תמיד על קו הכיוון (הישר, חסר-הכובד) של החץ, עליו "לזוז" באותו קצב אנכי כמו שהחץ היה זז ללא כובד - כלומר במהירות זהה לרכיב האנכי של מהירות החץ.