תאוצה במדרון חלק

גוף הנע על מדרון חלק (ללא חיכוך)

כאשר גוף נמצא על משטח משופע (מדרון) חלק - כלומר, ללא חיכוך - הכוח היחיד הפועל עליו (מלבד הנורמל) הוא כוח הכובד. כדי לנתח את תנועתו, יש לפרק את כוח הכובד לשני רכיבים: רכיב מאונך למדרון (המאוזן על ידי כוח הנורמל) ורכיב מקביל למדרון (הגורם לתאוצת הגוף).

פירוק כוח הכובד לרכיבים

עבור מדרון הנוטה בזווית α ביחס לאופק:

• הרכיב המקביל למדרון (זה שגורם לתאוצה): \( mg\sin\alpha \)
• הרכיב המאונך למדרון (המאוזן על ידי הנורמל): \( mg\cos\alpha \)

תאוצת הגוף על המדרון

מכיוון שהמדרון חלק (אין חיכוך), הכוח השקול הפועל על הגוף לאורך המדרון הוא רק רכיב כוח הכובד. לפי החוק השני של ניוטון:

$$ mg\sin\alpha = ma \quad \Rightarrow \quad a = g\sin\alpha $$

שימו לב: המסה מצטמצמת מהמשוואה - כלומר, תאוצת הגוף על מדרון חלק אינה תלויה כלל במסתו, אלא רק בזווית השיפוע.

מציאת זווית השיפוע מתוך התאוצה הנתונה

אם ידוע גודל התאוצה של הגוף, ניתן לחלץ ממנה את זווית המדרון:

$$ \sin\alpha = \frac{a}{g} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \sin^{-1}\left(\frac{a}{g}\right) $$

התאוצה זהה לאורך כל התנועה - גם בעלייה, גם בירידה וגם ברגע העצירה הרגעית

נקודה חשובה ומבלבלת לעיתים: כאשר גוף מוזנק במעלה מדרון חלק, הוא מאט, עוצר לרגע, ואז מתחיל לחזור במורד המדרון. לאורך כל התהליך הזה - הן בעלייה, הן ברגע העצירה הרגעית (כאשר \( v=0 \)), והן בירידה - כיוון וגודל התאוצה נשארים קבועים לחלוטין:

$$ a = g\sin\alpha $$

(כיוון התאוצה תמיד כלפי מטה לאורך המדרון, ללא תלות בכיוון התנועה הרגעי של הגוף)

הסיבה לכך: התאוצה נקבעת רק על ידי הכוחות הפועלים על הגוף (כאן - רק רכיב כוח הכובד), ואינה תלויה כלל במהירות הגוף או בכיוון תנועתו. ברגע העצירה הרגעית המהירות אמנם מתאפסת, אך הכוח הפועל על הגוף (ולכן גם התאוצה) אינו משתנה כלל - הוא זהה לזה שפעל במהלך העלייה.

לכן, אם בשאלה נתון גודל תאוצה מסוים במהלך העלייה במדרון, אותו גודל תאוצה בדיוק (באותו כיוון - כלפי מטה לאורך המדרון) יתקיים גם ברגע העצירה הרגעית וגם במהלך הירידה, כל עוד אין חיכוך במערכת.