מסה תחתונה גוררת מסה עליונה

מסה תחתונה גוררת מסה עליונה

מערכת זו דומה למקרה הקודם, אך הפוכה: גוף עליון (\( m_1 \)) מונח על גוף תחתון (\( m_2 \)), אך הפעם הכוח F מופעל ישירות על הגוף התחתון בלבד. הגוף התחתון מונח על רצפה חלקה (ללא חיכוך מול הרצפה). השאלה: מהו הכוח המקסימלי שניתן להפעיל כך ששני הגופים ינועו יחד, מבלי שהגוף העליון "יישאר מאחור" (יחליק ביחס לגוף התחתון)?

דוגמה מהחיים - ארגז על תא המטען של טנדר

דמיינו ארגז המונח על רצפת תא המטען הפתוח של טנדר (ולא קשור אליו). כאשר הטנדר מאיץ בעדינות, הארגז "נגרר" יחד עם הרכב הודות לחיכוך בין הארגז לרצפת התא. אך אם הנהג ילחץ חזק מדי על דוושת הגז, התאוצה תהיה גדולה מדי עבור כוח החיכוך הזמין - הארגז יחליק אחורה ביחס לתא המטען (וייראה, מנקודת מבט של הנהג, כאילו הוא "נשאר מאחור" בזמן שהרכב מאיץ מתחתיו). בדיוק כמו הטנדר (הגוף התחתון) שמואץ ישירות על ידי המנוע, כך גם הגוף התחתון \( m_2 \) מואץ ישירות על ידי הכוח F, בעוד הארגז (הגוף העליון \( m_1 \)) נגרר רק דרך החיכוך.

שלב 1 - ניתוח המערכת כולה

כל עוד שני הגופים נעים יחד, ניתן להתייחס אליהם כאל גוף אחד בעל מסה כוללת \( m_1+m_2 \):

$$ F = (m_1+m_2)a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{F}{m_1+m_2} $$

שלב 2 - בידוד הגוף העליון

הכוח היחיד הפועל על הגוף העליון בציר האופקי הוא כוח החיכוך הסטטי מהגוף התחתון - זהו הכוח שגורר אותו קדימה בתאוצה a:

$$ f_s = m_1a = \frac{m_1F}{m_1+m_2} $$

שלב 3 - תנאי הסף למניעת החלקה

הגופים ינועו יחד כל עוד כוח החיכוך הנדרש אינו עולה על הערך המקסימלי של חיכוך סטטי, הנקבע על ידי משקל הגוף העליון (זהו הכוח הנורמלי בין הגופים):

$$ f_s \leq \mu m_1g $$

מציאת הכוח המקסימלי

בסף ההחלקה:

$$ \frac{m_1F_{max}}{m_1+m_2} = \mu m_1g $$

מסת הגוף העליון \( m_1 \) מצטמצמת משני צידי המשוואה, ומתקבל ביטוי פשוט התלוי רק במסה הכוללת:

$$ F_{max} = \mu g(m_1+m_2) $$

השוואה למקרה ההפוך

שימו לב להבדל המפתיע: כאשר הכוח מופעל על הגוף התחתון, \( F_{max} \) אינו תלוי כלל בחלוקת המסות בין הגופים - רק בסכומן. זאת בשונה מהמקרה שבו הכוח מופעל על הגוף העליון, שם \( F_{max} \) תלוי גם ביחס בין \( m_1 \) ל-\( m_2 \). ההבדל נובע מכך שבמקרה הזה מסת הגוף הנגרר (\( m_1 \)) מצטמצמת מהמשוואה, בעוד שבמקרה הקודם היא לא.