בגרות – כוכב לכת דמיוני
בניסוי שנערך על פני כוכב לכת דמיוני, נזרק גוף א' אופקית בכיוון ציר ה-\( x \). התרשים מתאר את מקומו של גוף א' במישור התנועה בזמנים \( t=0,1s,2s,3s,4s \): הנקודות הן \( (0,0),\ (3,1),\ (6,4),\ (9,9),\ (12,16) \) (ציר \( y \) מכוון כלפי מטה).
א. מהירות הזריקה האופקית ותאוצת הנפילה החופשית
(1) בציר האופקי אין תאוצה (זריקה אופקית) - המהירות האופקית קבועה. בודקים את המרחק שעובר הגוף בכל שנייה: \( 0\to3\to6\to9\to12 \) - כלומר \( 3\ \mathrm{m} \) בכל שנייה:
$$ v_0 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{3\ \mathrm{m}}{1\ \mathrm{s}} = 3\ \mathrm{m/s} $$
(2) בציר האנכי הגוף נמצא בנפילה חופשית מתוך מנוחה אנכית (\( v_{0y}=0 \)): \( y=\tfrac12 g t^2 \). מציבים את הנתון \( t=1s,\ y=1m \):
$$ 1 = \tfrac12 g (1)^2 \quad\Rightarrow\quad g = 2\ \mathrm{m/s^2} $$
(בדיקה: ב-\( t=2s \) הנוסחה נותנת \( y=\tfrac12\times2\times4=4\ \mathrm{m} \), וב-\( t=3s \): \( y=9\ \mathrm{m} \), וב-\( t=4s \): \( y=16\ \mathrm{m} \) - תואם בדיוק את הנתונים בתרשים.)
ב. מיקומי גופים ב' ו-ג'
גוף ב' משתחרר מאותה הנקודה ובאותו רגע, בנפילה חופשית טהורה (ללא מהירות אופקית כלל): \( x=0 \) תמיד, ו-\( y=\tfrac12 g t^2 \) (אותה נוסחה אנכית כמו גוף א', שכן שניהם על אותו כוכב לכת):
|
t (s) |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
x (m) |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
y (m) |
0 |
1 |
4 |
9 |
גוף ג' נזרק אופקית במהירות כפולה מזו של גוף א' (\( v_0=6\ \mathrm{m/s} \)), ונופל תחת אותה תאוצה \( g=2\ \mathrm{m/s^2} \) - כלומר הרכיב האנכי שלו בכל זמן זהה לזה של גוף א' (אותה נוסחה אנכית), ורק הרכיב האופקי כפול:
|
t (s) |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
x (m) |
0 |
6 |
12 |
18 |
|
y (m) |
0 |
1 |
4 |
9 |
ג. כיוון הווקטור Δv=v₂-v₁
בזריקה אופקית, הכוח היחיד הפועל על הגוף (לאחר הזריקה) הוא כוח הכובד - כוח קבוע בגודלו ובכיוונו (כלפי מטה). לכן לאורך כל התנועה:
הרכיב האופקי של המהירות \( v_x \) קבוע - אינו משתנה כלל בין \( t_1 \) ל-\( t_2 \).
הרכיב האנכי של המהירות \( v_y \) גדל בהתמדה בקצב \( g \) (כלפי מטה) - כלומר \( v_y(t_2) > v_y(t_1) \), עם תוספת בכיוון כלפי מטה.
לכן ההפרש \( \Delta\vec v = \vec v_2 - \vec v_1 \) מכיל רק רכיב אנכי (הרכיב האופקי מצטמצם, שכן הוא זהה בשני הווקטורים) - וכיוון הרכיב האנכי הזה הוא תמיד כלפי מטה, שכן זו בדיוק תוספת המהירות שמעניקה תאוצת הכובד בכל פרק זמן. מכאן ש-\( \Delta\vec v \) מכוון כלפי מטה בלבד, ללא תלות ברכיבים האופקיים של \( v_1 \) ו-\( v_2 \) עצמם.