בגרות – הטלת כידון
ספורטאי הטיל כידון פעמיים באימון. מערכת ממוחשבת עקבה אחר תנועת הכידון החל מהרגע שבו הוא בשיא הגובה ועד לרגע פגיעתו בקרקע.
בהטלה הראשונה: המערכת התחילה לדגום את התנועה ברגע \( t=0 \), כשהכידון בשיא גובהו, \( H \) מטרים מעל נקודה על הקרקע שהוגדרה כראשית ציר המקום (\( x=0 \)). בשיא הגובה מהירותו האופקית של הכידון הייתה \( 74\ \mathrm{km/h} \). הכידון ננעץ בקרקע בנקודה \( x=L \), בזווית של \( 42^\circ \) מתחת לאופק. התנגדות האוויר זניחה; הכידון נחשב לגוף נקודתי.
א. תיאור מילולי של תנועת הכידון
בציר האופקי: תנועה במהירות קבועה (\( 74\ \mathrm{km/h}\approx20.6\ \mathrm{m/s} \)), ללא תאוצה - שכן אין כוח הפועל בכיוון האופקי (התנגדות האוויר זניחה).
בציר האנכי: הכידון נמצא בשיא הגובה ברגע \( t=0 \), כלומר מהירותו האנכית שם היא אפס. מרגע זה, הכידון נמצא בנפילה חופשית - תנועה שוות-תאוצה כלפי מטה (\( g=10\ \mathrm{m/s^2} \)), כך שגודל מהירותו האנכית הולך וגדל באופן קבוע עד לרגע הפגיעה בקרקע.
ב. גודל מהירות הכידון ברגע הפגיעה בקרקע
ממירים תחילה את המהירות האופקית ליחידות SI:
$$ v_x = \frac{74}{3.6} \approx 20.56\ \mathrm{m/s} $$
הרכיב האופקי של המהירות אינו משתנה במהלך התנועה - גם ברגע הפגיעה הוא עדיין \( 20.56\ \mathrm{m/s} \). זווית הפגיעה נתונה (\( 42^\circ \) מתחת לאופק), ומקיימת \( \tan(42^\circ) = v_y/v_x \):
$$ v_y = v_x\tan(42^\circ) = 20.56\times0.900 \approx 18.51\ \mathrm{m/s} $$
גודל המהירות הכולל ברגע הפגיעה:
$$ v = \frac{v_x}{\cos(42^\circ)} = \frac{20.56}{0.743} \approx 27.7\ \mathrm{m/s} $$
ג. הגובה המרבי H
מהשיא (מהירות אנכית אפס) ועד לקרקע, הכידון נופל בנפילה חופשית טהורה בציר האנכי. משתמשים בנוסחת הקשר בין מהירות למרחק (ללא זמן):
$$ v_y^2 = 2gH \quad\Rightarrow\quad H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{18.51^2}{20} \approx 17.1\ \mathrm{m} $$
בהטלה השנייה
שיא הגובה היה נמוך ב-\( 1\ \mathrm{m} \) משיא הגובה בהטלה הראשונה, ומהירותו האופקית שונה מ-\( 74\ \mathrm{km/h} \). אולם המרחק האופקי \( L \) שעבר הכידון מרגע השיא ועד לרגע הפגיעה זהה בשתי ההטלות.
ד. גודל המהירות האופקית בשיא הגובה בהטלה השנייה
גובה השיא החדש:
$$ H_2 = H-1 \approx 16.13\ \mathrm{m} $$
זמן הנפילה החדש (מהשיא ועד לקרקע), מנוסחת הנפילה החופשית:
$$ v_{y2} = \sqrt{2gH_2} \approx 17.96\ \mathrm{m/s} \quad\Rightarrow\quad t_2 = \frac{v_{y2}}{g} \approx 1.80\ \mathrm{s} $$
מכיוון שהמרחק האופקי \( L \) זהה בשתי ההטלות (חושב בסעיף הקודם, \( L\approx38.0\ \mathrm{m} \)):
$$ v_{x2} = \frac{L}{t_2} \approx 21.2\ \mathrm{m/s} $$
ה. השוואת זווית הפגיעה בין שתי ההטלות (ללא חישוב)
בהטלה השנייה, זווית הפגיעה קטנה יותר מבהטלה הראשונה.
נימוק: הגובה בהטלה השנייה נמוך יותר, כך שזמן הנפילה קצר יותר - וכתוצאה מכך המהירות האנכית שנצברת עד לפגיעה קטנה יותר. במקביל, מכיוון שעל הכידון לעבור את אותו מרחק אופקי \( L \) בזמן קצר יותר, מהירותו האופקית בהכרח גדולה יותר. זווית הפגיעה נקבעת לפי \( \tan(\text{זווית})=v_y/v_x \) - וכאשר \( v_y \) קטן ו-\( v_x \) גדול, היחס ביניהם קטן יותר, ולכן גם הזווית קטנה יותר.