בגרות – שוטר על אופנוע

מכונית נסעה במהירות קבועה שגודלה \( 108\ \mathrm{km/h} \). ברגע \( t=0 \), כאשר המרחק בין השוטר למכונית הוא \( 87.5\ \mathrm{m} \), יוצא השוטר לרדוף אחריה על אופנוע, ממנוחה, בתאוצה קבועה שגודלה \( 4\ \mathrm{m/s^2} \).

א. משמעות "תאוצה קבועה שגודלה 4 מטר לשנייה בריבוע"

המשמעות היא שבכל שנייה שעוברת, גודל המהירות של האופנוע גדל ב-\( 4\ \mathrm{m/s} \) נוספים, וקצב הגידול הזה עצמו אינו משתנה במהלך התנועה.

לפני שממשיכים - המרת יחידות

הנתון \( 108\ \mathrm{km/h} \) אינו ביחידות הסטנדרטיות של הפיזיקה (מטר, שנייה) - יש להמיר אותו קודם. בקילומטר יש \( 1000\ \mathrm{m} \), ובשעה יש \( 3600\ \mathrm{s} \) (\( 60\times60 \)), ולכן ההמרה מ-km/h ל-m/s נעשית תמיד על ידי חלוקה ב-\( 3.6 \):

$$ 108\ \mathrm{km/h} = \frac{108}{3.6} = 30\ \mathrm{m/s} $$

מה קורה פיזיקלית - לפני שכותבים משוואות

ברגע \( t=0 \) האופנוע נמצא במנוחה (\( v=0 \)) בעוד המכונית כבר נוסעת ב-\( 30\ \mathrm{m/s} \) - כך שבתחילת המרדף המכונית מהירה בהרבה מהשוטר, והמרחק ביניהם רק הולך וגדל. אבל מהירות האופנוע גדלה בהדרגה (\( 4\ \mathrm{m/s} \) בכל שנייה), ובשלב מסוים היא משתווה למהירות המכונית ואז עוברת אותה. מרגע זה המרחק מתחיל להצטמצם, עד שהאופנוע משיג את המכונית לגמרי. כלומר: המרחק ביניהם קודם גדל, ולאחר מכן קטן - וזה בדיוק מה שהמשוואות שלהלן אמורות לשקף.

ב. מיקום המכונית כפונקציה של הזמן

מגדירים ציר \( x \) שראשיתו במקום שבו נמצא השוטר ברגע \( t=0 \), וכיוונו החיובי הוא כיוון נסיעת המכונית. מסמנים את מיקום המכונית ב-\( x_C(t) \). מכיוון שברגע \( t=0 \) המכונית נמצאת במרחק \( 87.5\ \mathrm{m} \) מהשוטר ונוסעת במהירות קבועה \( 30\ \mathrm{m/s} \):

$$ x_C(t) = 87.5 + 30t $$

ג. מיקום האופנוע כפונקציה של הזמן

מסמנים את מיקום האופנוע ב-\( x_M(t) \). האופנוע יוצא ממנוחה מראשית הצירים בתאוצה קבועה:

$$ x_M(t) = \tfrac12 \times 4 \times t^2 = 2t^2 $$

ד. הזמן שבו משיג השוטר את המכונית

השוטר משיג את המכונית ברגע שבו שני המיקומים שווים:

$$ 2t^2 = 87.5+30t $$

מסדרים למשוואה ריבועית:

$$ t^2 - 15t - 43.75 = 0 $$

למשוואה ריבועית יש בדרך כלל שני פתרונות מתמטיים:

$$ t = \frac{15\pm\sqrt{15^2+4\times43.75}}{2} = \frac{15\pm20}{2} $$

מתקבלים שני ערכים: \( t=17.5\ \mathrm{s} \) ו-\( t=-2.5\ \mathrm{s} \). הפתרון השלילי נפסל: הוא מתאר "מפגש" מתמטי שהיה מתרחש לפני רגע \( t=0 \) שהוגדר בשאלה (כלומר לפני שהשוטר בכלל התחיל לנסוע) - מצב שאינו רלוונטי לתיאור הפיזיקלי של השאלה. לכן הפתרון היחיד הרלוונטי הוא:

$$ t = 17.5\ \mathrm{s} $$

ה. גרפי המהירות של שתי הרכבים

גרף המכונית: קו ישר אופקי בגובה \( v=30\ \mathrm{m/s} \), מ-\( t=0 \) עד \( t=17.5\ \mathrm{s} \) - מהירות קבועה.

גרף האופנוע: קו ישר עולה מ-\( (0,0) \), עם שיפוע \( 4\ \mathrm{m/s^2} \), לפי \( v(t)=4t \). שני הקווים נחתכים ב-\( t=7.5\ \mathrm{s} \) (הרגע שבו מהירות האופנוע משתווה למהירות המכונית, שם v=30 עבור שניהם), וממשיכים - קו האופנוע ממשיך לעלות מעל קו המכונית עד לרגע \( t=17.5\ \mathrm{s} \) (שם v=70 עבור האופנוע), שהוא רגע ההשגה במיקום (לא במהירות).