בגרות – שוטר על אופנוע

מכונית נסעה במהירות קבועה שגודלה \( 30\ \mathrm{m/s} \). ברגע \( t=0 \), כאשר המרחק בין השוטר למכונית הוא \( 87.5\ \mathrm{m} \), יוצא השוטר לרדוף אחריה על אופנוע, ממנוחה, בתאוצה קבועה שגודלה \( 4\ \mathrm{m/s^2} \).

א. משמעות "תאוצה קבועה שגודלה 4 מטר לשנייה בריבוע"

המשמעות היא שבכל שנייה שעוברת, גודל המהירות של האופנוע גדל ב-\( 4\ \mathrm{m/s} \) נוספים, וקצב הגידול הזה עצמו אינו משתנה במהלך התנועה.

ב. מיקום המכונית כפונקציה של הזמן

מגדירים ציר \( x \) שראשיתו במקום שבו נמצא השוטר ברגע \( t=0 \), וכיוונו החיובי הוא כיוון נסיעת המכונית. מסמנים את מיקום המכונית ב-\( x_C(t) \). מכיוון שברגע \( t=0 \) המכונית נמצאת במרחק \( 87.5\ \mathrm{m} \) מהשוטר ונוסעת במהירות קבועה:

$$ x_C(t) = 87.5 + 30t $$

ג. מיקום האופנוע כפונקציה של הזמן

מסמנים את מיקום האופנוע ב-\( x_M(t) \). האופנוע יוצא ממנוחה מראשית הצירים בתאוצה קבועה:

$$ x_M(t) = \tfrac12 \times 4 \times t^2 = 2t^2 $$

ד. הזמן שבו משיג השוטר את המכונית

השוטר משיג את המכונית ברגע שבו שני המיקומים שווים:

$$ 2t^2 = 87.5+30t $$

מסדרים למשוואה ריבועית:

$$ t^2 - 15t - 43.75 = 0 $$

הפתרון החיובי:

$$ t = \frac{15+\sqrt{15^2+4\times43.75}}{2} = \frac{15+20}{2} = 17.5\ \mathrm{s} $$

ה. גרפי המהירות של שתי הרכבים

גרף המכונית: קו ישר אופקי בגובה \( v=30\ \mathrm{m/s} \), מ-\( t=0 \) עד \( t=17.5\ \mathrm{s} \) - מהירות קבועה.

גרף האופנוע: קו ישר עולה מ-\( (0,0) \), עם שיפוע \( 4\ \mathrm{m/s^2} \), לפי \( v(t)=4t \). שני הקווים נחתכים ב-\( t=7.5\ \mathrm{s} \) (הרגע שבו מהירות האופנוע משתווה למהירות המכונית), וממשיכים - קו האופנוע ממשיך לעלות מעל קו המכונית עד לרגע \( t=17.5\ \mathrm{s} \), שהוא רגע ההשגה במיקום (לא במהירות).