בגרות – הפרש זמנים

תלמיד עומד על גג בניין ומחזיק שני כדורים A ו-B. הוא משחרר את כדור A מנוחה בגובה הגג ברגע \( t=0 \). ברגע \( t=1s \) הוא זורק את כדור B כלפי מטה במהירות \( 14\ \mathrm{m/s} \) מאותו גובה. משתמשים ב-\( g=10\ \mathrm{m/s^2} \). לאורך הפתרון, משוואות כדור A יופיעו בצבע כחול, ומשוואות כדור B בצבע כתום.

שימו לב לפני שמתחילים: התרשים שמלווה שאלה כזו עלול להטעות - הוא מראה את שני הכדורים כאילו הם נמצאים על אותו דף בו-זמנית, אבל בפועל יש ביניהם הפרש זמן אמיתי של שנייה (A כבר נופל שנייה שלמה לפני ש-B בכלל נזרק). אי אפשר לצייר על נייר תמונה אחת שמתארת נכון שני רגעים שונים בזמן - כך שאין טעם לנסות "לקרוא" מהתרשים מרחקים או יחסים בין הכדורים; יש להישען אך ורק על הנתונים המילוליים והמשוואות.

מגדירים ציר \( y \) שראשיתו בגובה הגג, וכיוונו החיובי כלפי מטה. הבחירה הזו נוחה כאן במיוחד: שני הכדורים נעים כל הזמן כלפי מטה בלבד (אין קטע שבו מישהו מהם עולה), כך שכל המהירויות והמיקומים ייצאו בסימן חיובי אחיד - בלי להתעסק עם מינוסים לאורך הדרך. (בחירה הפוכה, "למעלה חיובי", הייתה נותנת בדיוק אותן תשובות בסופו של דבר - זה רק עניין של נוחות בכתיבה, לא עניין פיזיקלי.)

א1. מיקום כדור A כפונקציה של הזמן

כדור A נופל בנפילה חופשית מנוחה החל מ-\( t=0 \):

$$ \color[RGB]{31,111,178}{y_A(t) = \tfrac12 gt^2 = 5t^2} \qquad (t\geq0) $$

א2. מיקום כדור B כפונקציה של הזמן

כדור B נשאר בגובה הגג עד לרגע הזריקה, ומאותו רגע נופל עם מהירות התחלתית \( 14\ \mathrm{m/s} \) כלפי מטה. מכיוון שיש לנו שעון אחד (\( t \)) המתאר שני כדורים שכל אחד "מתחיל" ברגע אחר, יש לתקן את המשוואה של B: בכל ביטוי עבורו, כותבים \( (t-1) \) במקום \( t \) - כך שכאשר השעון הכללי מראה \( t=1.5s \) למשל, המשוואה "יודעת" שמבחינת B עברה רק חצי שנייה מאז שחרורו:

$$ \color[RGB]{232,130,58}{y_B(t) = \begin{cases} 0 & 0\leq t<1 \ 14(t-1) + 5(t-1)^2 & t\geq1 \end{cases}} $$

א3. מתי הכדורים "נפגשים" בגודלם (חולפים זה ליד זה)

משווים \( y_A(t) = y_B(t) \) עבור \( t\geq1 \):

$$ \color[RGB]{31,111,178}{5t^2} = \color[RGB]{232,130,58}{14(t-1)+5(t-1)^2} $$

פותחים את \( (t-1)^2 = t^2-2t+1 \):

$$ 5t^2 = 14t-14+5t^2-10t+5 = 5t^2+4t-9 $$

האיברים \( 5t^2 \) מצטמצמים משני האגפים:

$$ 0 = 4t-9 \quad\Rightarrow\quad t = 2.25\ \mathrm{s} $$

ב1. מהירות כדור A ברגע t=1s

$$ \color[RGB]{31,111,178}{v_A(1) = gt = 10\times1 = 10\ \mathrm{m/s}} $$

ב2. אילו כדור B נזרק ב-10 m/s במקום 14 m/s

שימו לב: זו בדיוק המהירות שהייתה לכדור A ברגע הזריקה של B (סעיף ב1). כלומר, ברגע \( t=1s \), שני הכדורים היו נעים באותה מהירות בדיוק.

נבדוק זאת גם באותה שיטה שבה השתמשנו בסעיף א3 - נציב את הנתון החדש (\( v_{0B}=10\ \mathrm{m/s} \) במקום \( 14\ \mathrm{m/s} \)) במשוואת המיקום של כדור B, ונשווה למיקום כדור A:

$$ \color[RGB]{232,130,58}{y_B(t) = 10(t-1)+5(t-1)^2} \qquad (t\geq1) $$

$$ \color[RGB]{31,111,178}{5t^2} = \color[RGB]{232,130,58}{10(t-1)+5(t-1)^2} $$

פותחים את \( (t-1)^2 = t^2-2t+1 \):

$$ 5t^2 = 10t-10+5t^2-10t+5 = 5t^2-5 $$

מצמצמים את \( 5t^2 \) משני האגפים:

$$ 0 = -5 $$

זו טענה שקרית (0 אינו שווה ל-5-), כלומר למשוואה אין פתרון בכלל. אין שום רגע \( t \) שעבורו שני הכדורים נמצאים באותו מקום - ולכן הכדורים לא נפגשים כלל, לא לפני הפגיעה בקרקע ולא אחריה.

הסיבה הפיזיקלית לכך: מכיוון ששני הכדורים נעים באותה מהירות בדיוק ברגע \( t=1s \), ומאותו רגע חווים את אותה תאוצה \( g \) (שניהם בנפילה חופשית), ההפרש במהירויות ביניהם נשאר אפס לכל זמן נוסף. המרחק ביניהם, שכבר נפער במהלך השנייה הראשונה (שבה A כבר נפל וB עדיין הוחזק), נשאר קבוע לנצח ואינו הולך ומצטמצם.