מומנט התמד של משולש

מומנט התמד של משולש - חלוקה לפסים דקים

עבור צורה שאינה בעלת סימטריה מעגלית (כמו משולש), אין אפשרות לחלק אותה לטבעות דקות כפי שעשינו עבור דיסקה - יש לבחור שיטת חלוקה אחרת, המתאימה לגיאומטריה של הצורה. עבור משולש, השיטה הנוחה ביותר היא חלוקה לפסים דקים מקבילים לאחת הצלעות.

שלב 1 - הגדרת מערכת צירים נוחה

בדרך כלל נוח למקם את ציר הסיבוב לאורך אחת מצלעות המשולש (או מקביל אליה), ולתאר את המשולש כפונקציה של המרחק x מאותה צלע. יש למצוא את הביטוי לרוחב המשולש (אורך הפס) כפונקציה של x - זהו קשר ליניארי (משולש דומה) הפוחת מהבסיס לקודקוד.

שלב 2 - מסת כל פס דק

אם רוחב המשולש בגובה x הוא \( w(x) \) (פונקציה ליניארית פוחתת), ועובי הפס \( dx \), מסת הפס (עם צפיפות משטחית קבועה σ):

$$ dm = \sigma\cdot w(x)\,dx $$

שלב 3 - כתיבת האינטגרל למומנט ההתמד

כל הנקודות בפס נמצאות (בקירוב, עבור פס דק מספיק) באותו מרחק x מהציר, ולכן:

$$ I = \int_0^h x^2\cdot\sigma\cdot w(x)\,dx $$

כאשר h הוא גובה המשולש (המרחק המרבי מהציר). יש להציב את הביטוי הליניארי הספציפי של \( w(x) \) (התלוי בגיאומטריה המדויקת של המשולש הנתון) ולפתור את האינטגרל.

שלב 4 - ביטוי הצפיפות באמצעות המסה הכוללת

כרגיל, ניתן לחשב את המסה הכוללת M באמצעות אינטגרציה דומה (ללא \( x^2 \)), ולהציב \( \sigma=\frac{M}{A} \) (כאשר A שטח המשולש) כדי לבטא את התוצאה הסופית באמצעות M וממדי המשולש בלבד, ולא באמצעות הצפיפות σ עצמה.

נקודת מפתח - התאמת שיטת החלוקה לצורה

העיקרון הכללי בבעיות מומנט התמד: בוחרים אלמנט אינטגרציה (טבעת, פס, קליפה) שבו כל הנקודות נמצאות במרחק (כמעט) זהה מציר הסיבוב - כך ש-\( r^2 \) (או \( x^2 \)) ניתן "להוציא" מחוץ לאינטגרציה הפנימית על פני אותו אלמנט, ונותר רק אינטגרל חד-משתני אחד לפתרון.