מכונת אטווד עם דסקה

מכונת אטווד עם דסקה - גלגלת בעלת מסה

מכונת אטווד קלאסית (שתי מסות תלויות משני צידי חוט העובר על גלגלת) הופכת למורכבת יותר כאשר הגלגלת עצמה אינה חסרת מסה, אלא דסקה בעלת מומנט התמד I ורדיוס R. במקרה זה, יש להתחשב גם בסיבוב הדסקה, ולא רק בתנועת שתי המסות.

שלב 1 - מדוע מתיחות החוט אינה זהה בשני צידי הדסקה

כאשר לגלגלת יש מסה (ולכן מומנט התמד), נדרש מומנט כוח כדי להאיץ אותה סיבובית. מומנט זה מגיע מהפרש המתיחויות בין שני צידי החוט - אילו המתיחות הייתה זהה משני הצדדים, המומנט השקול על הדסקה היה אפס, והיא לא הייתה יכולה להאיץ. לכן, בניגוד למכונת אטווד "רגילה" (גלגלת חסרת מסה), כאן יש להגדיר שתי מתיחויות שונות, \( T_1 \) ו-\( T_2 \).

שלב 2 - משוואות ניוטון לשתי המסות

עבור כל מסה בנפרד (כיוונים חיוביים מוגדרים בהתאם לכיוון התנועה הצפוי):

$$ m_1g - T_1 = m_1a $$

$$ T_2 - m_2g = m_2a $$

שלב 3 - משוואת מומנטים לדסקה

ההפרש בין שתי המתיחויות יוצר את המומנט השקול על הדסקה, המניע אותה לפי החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית:

$$ T_1R - T_2R = I\alpha $$

שלב 4 - קשר גלגול ללא החלקה בין הדסקה לחוט

מכיוון שהחוט אינו מחליק על הדסקה, מהירות (ותאוצת) קצה הדסקה שווה למהירות (ותאוצת) המסות התלויות:

$$ a = \alpha R $$

שלב 5 - פתרון המערכת

ארבע המשוואות (שתי משוואות ניוטון למסות, משוואת המומנטים לדסקה, וקשר הגלגול) עם ארבעה נעלמים (\( T_1,T_2,a,\alpha \), כאשר \( \alpha \) מוצב ישירות דרך a) - ניתנות לפתרון בשיטת הצבה. עבור דסקה אחידה, \( I=\frac{1}{2}MR^2 \) (M = מסת הדסקה), ופתרון המערכת נותן:

$$ a = \frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2+\frac{M}{2}} $$

שימו לב שהתאוצה קטנה יותר מזו של מכונת אטווד "רגילה" (ללא מסת הגלגלת) - מסת הדסקה "מאטה" את המערכת, בדיוק כפי שהיינו מצפים ממערכת בעלת אינרציה סיבובית נוספת.