קפיץ ודסקה בגלגול ללא החלקה

קפיץ ודסקה בגלגול ללא החלקה

דסקה (או גליל) מחוברת לקפיץ, ומתגלגלת ללא החלקה על משטח אופקי מחוספס. כאשר הקפיץ נמתח או נדחס ומשחרר את הדסקה, היא מבצעת תנועה הרמונית - אך בשונה מתנועה הרמונית "רגילה" של גוף נקודתי, כאן יש להתחשב גם באנרגיה הקינטית הסיבובית של הדסקה.

שלב 1 - שימור אנרגיה עם שלושה מרכיבים

מכיוון שהדסקה מתגלגלת ללא החלקה, כוח החיכוך אינו מבצע עבודה - האנרגיה המכנית הכוללת (אלסטית של הקפיץ, קינטית היסטית, וקינטית סיבובית) נשמרת:

$$ \frac{1}{2}kx^2 + \frac{1}{2}mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \text{const} $$

שלב 2 - קשר גלגול ללא החלקה

מכיוון שאין החלקה, המהירות הזוויתית קשורה למהירות הקווית של מרכז המסה:

$$ \omega = \frac{v_{cm}}{R} $$

הצבה זו מאפשרת לכתוב את האנרגיה הקינטית הכוללת (היסטית + סיבובית) באמצעות \( v_{cm} \) בלבד:

$$ \frac{1}{2}mv_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\left(\frac{v_{cm}}{R}\right)^2 = \frac{1}{2}\left(m+\frac{I}{R^2}\right)v_{cm}^2 $$

שלב 3 - "מסה אפקטיבית" ותדירות זוויתית מוקטנת

הביטוי \( \left(m+\frac{I}{R^2}\right) \) מתפקד כ"מסה אפקטיבית" גדולה יותר מהמסה הרגילה m - האינרציה הסיבובית של הדסקה "מוסיפה" התנגדות לתאוצה, בדיוק כפי שמסה נוספת הייתה עושה. כתוצאה מכך, תדירות התנודה הזוויתית של המערכת קטנה מזו של אותה מסה ללא אפקט סיבובי (למשל, מסה נקודתית על אותו קפיץ):

$$ \omega_{osc} = \sqrt{\frac{k}{m+\frac{I}{R^2}}} $$

עבור דסקה אחידה (\( I=\frac{1}{2}mR^2 \)), הביטוי מתפשט ל-\( \omega_{osc}=\sqrt{\frac{k}{\frac{3}{2}m}}=\sqrt{\frac{2k}{3m}} \) - איטית יותר פי \( \sqrt{2/3} \) מתדירות מסה-קפיץ פשוטה.

נקודת מפתח

ניתן לפתור בעיות מסוג זה בשתי דרכים שקולות: (1) שימור אנרגיה עם שלושת המרכיבים והצבת קשר הגלגול, כפי שהוצג לעיל, או (2) ניתוח כוחות ומומנטים ישיר (משוואת ניוטון לתנועה קווית + משוואת מומנטים לתנועה סיבובית + קשר הגלגול) - התוצאה הסופית (תדירות התנודה) זהה בשתי הגישות.