משימת בראשית

מסע חללית בין כדור הארץ לירח - השוואת כוחות, מהירות ועבודה

חללית נעה במסלול מעגלי סביב הירח, ולאחר מכן נוחתת נחיתה רכה (מהירות אפסית) על פני הירח. במהלך הבעיה נשווה בין השפעת כוח הכבידה של כדור הארץ לזו של הירח, נמצא את מהירות החללית במסלול, ונחשב עבודה.

שלב 1 - יחס כוחות הכבידה מכדור הארץ ומהירח

בכל נקודה נתונה, ניתן להשוות בין כוח הכבידה שמפעיל כדור הארץ (\( F_E \)) לזה שמפעיל הירח (\( F_M \)) על אותו גוף, לפי היחס בין המסות למרחקים בריבוע:

$$ \frac{F_E}{F_M}=\frac{M_E}{M_M}\cdot\left(\frac{r_M}{r_E}\right)^2 $$

כאשר \( r_E,r_M \) הם המרחקים מהחללית למרכז כדור הארץ ולמרכז הירח בהתאמה, באותו רגע נתון.

שלב 2 - מהירות במסלול מעגלי סביב הירח

כוח הכבידה מהירח מספק את הכוח המרכזי לתנועה המעגלית של החללית סביב הירח:

$$ \frac{GM_Mm}{r_S^2}=\frac{mv^2}{r_S} \quad \Rightarrow \quad v=\sqrt{\frac{GM_M}{r_S}} $$

שלב 3 - בדיקת טענה על חוק קפלר השלישי

טענה נפוצה שיש לבדוק בקפידה: "אם ידועים רדיוס המסלול וזמן המחזור של גוף אחד (כמו הירח סביב כדור הארץ), ניתן תמיד להשתמש בחוק קפלר השלישי כדי למצוא את זמן המחזור של גוף שני (כמו החללית) במסלול ברדיוס אחר". טענה זו נכונה רק אם שני הגופים מקיפים את אותו גוף מרכזי - אם הירח מקיף את כדור הארץ, אך החללית מקיפה את הירח (גוף מרכזי שונה), לא ניתן להשוות ביניהם ישירות באמצעות יחס \( T^2\propto r^3 \) פשוט, כיוון שהקבוע \( \frac{4\pi^2}{GM} \) שונה (תלוי במסת כל גוף מרכזי בנפרד).

שלב 4 - עבודה בנחיתה רכה (משפט עבודה-אנרגיה)

עבור המעבר ממסלול מעגלי (רדיוס \( r_S \), מהירות v) לנחיתה רכה על פני הירח (מהירות אפס), משתמשים במשפט עבודה-אנרגיה - העבודה הכוללת שבוצעה על החללית (הן על ידי כוח הכבידה והן על ידי המנועים) שווה לשינוי באנרגיה הקינטית:

$$ W_{total} = 0 - \frac{1}{2}mv^2 $$

אם מתעלמים מהשפעת כדור הארץ (כפי שמצוין בשאלות מסוג זה), ניתן לבודד את עבודת המנועים (\( W_{engines} \)) על ידי הפחתת עבודת כוח הכבידה של הירח (המחושבת משינוי האנרגיה הפוטנציאלית \( U=-\frac{GM_Mm}{r} \)) מהעבודה הכוללת.

שלב 5 - כיוון פליטת הגזים בנחיתה

כדי להאט את החללית (נחיתה רכה), המנועים חייבים להפעיל עליה כוח מנוגד לכיוון תנועתה. לפי החוק השלישי של ניוטון, אם המנוע דוחף את הגזים הנפלטים בכיוון מסוים, הגזים דוחפים בחזרה את החללית בכיוון הפוך. לכן, כדי להאט את החללית, המנועים פולטים את הגזים בכיוון תנועת החללית עצמה (קדימה) - כך שהכוח החוזר על החללית (מהגזים) יהיה מנוגד לתנועתה, ויאט אותה.