בגרות – עקרון השקילות

פתרון: בגרות קיץ 2008, שאלה 2 (מעלית ואבטיח)

גרף המהירות של המעלית מורכב משלושה קטעים: עלייה ליניארית מ-0 ל-0.5 מ'/ש' בין t=0 ל-t=2s, מהירות קבועה של 0.5 מ'/ש' בין t=2s ל-t=8s, וירידה ליניארית בחזרה ל-0 בין t=8s ל-t=12s.

א. גובה הקומה העליונה

הגובה שווה לשטח שמתחת לגרף המהירות-זמן, המורכב משני משולשים ומלבן:

$$ h = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 0.5 \;+\; 6\cdot 0.5 \;+\; \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 0.5 = 0.5+3+1 = 4.5\ \mathrm{m} $$

ב. הוראת הדינמומטר בכל קטע זמן

מסת האבטיח \( m=5 \) ק"ג, ומשתמשים ב-\( g=10\ \mathrm{m/s^2} \).

בקטע הראשון (<0<t<2s>) המעלית מאיצה כלפי מעלה:

$$ a_1=\frac{0.5}{2}=0.25\ \mathrm{m/s^2} \quad\Rightarrow\quad N_1=m(g+a_1)=5\cdot(10+0.25)=51.25\ \mathrm{N} $$

בקטע השני (<2s<t<8s>) המהירות קבועה ואין תאוצה:

$$ N_2=mg=5\cdot 10=50\ \mathrm{N} $$

בקטע השלישי (<8s<t<12s>) המעלית ממשיכה לעלות אך מאטה, כלומר התאוצה מכוונת כלפי מטה:

$$ a_3=\frac{0-0.5}{4}=-0.125\ \mathrm{m/s^2} \quad\Rightarrow\quad N_3=m(g-0.125)=5\cdot(10-0.125)=49.375\ \mathrm{N} $$

ג. נפילה חופשית

אילו נקרע כבל המעלית, המעלית וכל תוכנה היו נופלים בנפילה חופשית, כלומר בתאוצה \( g \) כלפי מטה. במצב כזה האבטיח והדינמומטר נופלים יחד באותה תאוצה בדיוק, כך שהדינמומטר אינו צריך להפעיל שום כוח על האבטיח כדי להאיץ אותו. לכן הוראת הדינמומטר תהיה אפס - מצב של "אי-משקל" (כפי שקורה לאסטרונאוטים בחללית).

ד (אפשרות 1). הסבר לפי עקרון השקילות

צופה ב, העומד על הקרקע, שוקל אבטיח זהה במסתו (5 ק"ג) ללא כל תאוצה, ולכן מקבל תמיד קריאה קבועה של \( N=mg=50 \) ניוטון.

צופה א, הנמצא במעלית המואצת, מקבל קריאות שונות (51.25 או 49.375 ניוטון) בקטעי הזמן שבהם המעלית מאיצה. לפי עקרון השקילות, תאוצה כלפי מעלה שקולה מבחינה פיזיקלית להגברה זמנית של שדה הכבידה, ותאוצה כלפי מטה שקולה להיחלשות זמנית שלו. לכן, אף שהמסות של שני האבטיחים זהות, צופה א "חש" שדה כבידה אפקטיבי שונה משל צופה ב בכל פעם שהמעלית מאיצה - וזהו ההסבר לפער בין שתי מדידות השקילה.

ד (אפשרות 2). שיווי המשקל של מאזני הכפות

מאזני כפות אינם מודדים כוח מוחלט אלא משווים בין שני משקלים. גם האבטיח וגם משקולת ההשוואה של 5 ק"ג נמצאים באותה מעלית, ולכן בכל רגע נתון שניהם חווים בדיוק את אותה תאוצה - ולפי עקרון השקילות, את אותו שדה כבידה אפקטיבי. כתוצאה מכך כוח הכובד האפקטיבי על שני הצדדים משתנה באותו היחס בדיוק, ושיווי המשקל בין שתי הכפות אינו מופר לאורך כל תנועת המעלית - לא בשלב ההאצה, לא בשלב המהירות הקבועה, ולא בשלב ההאטה.