בגרות – בעיטת פננקה
שחקן כדורגל בעט בכדור בשיטת "פננקה" - בעיטת עונשין שבה הכדור נע במסלול פרבולי במישור אנכי, וההיטל של המסלול על המגרש ניצב לקו השער. מרחק הכדור מקו השער לפני הבעיטה \( d=11\ \mathrm{m} \), גודל המהירות ההתחלתית \( v_0 \), הזווית בין כיוון המהירות ההתחלתית לבין מישור המגרש \( \alpha \). התנגדות האוויר זניחה.
א. הרכיב האנכי של מהירות הכדור כפונקציה של הזמן
הרכיב האנכי של המהירות מקיים \( v_y(t) = v_0\sin\alpha - gt \) - קו ישר יורד, ששיפועו \( -g \) (קבוע וזהה בכל זמן), המתחיל בערך חיובי \( v_0\sin\alpha \) (ברגע הבעיטה), חוצה את האפס בשיא המסלול, וממשיך לרדת לערכים שליליים (הכדור יורד).
ב. השוואת הרכיב האופקי והתאוצה בנקודות P ו-Q
(1) גודל הרכיב האופקי של מהירות הכדור בנקודה P שווה לגודלו בנקודה Q.
נימוק: אין כוחות אופקיים הפועלים על הכדור (התנגדות האוויר זניחה) - ולכן הרכיב האופקי של המהירות קבוע לאורך כל התנועה, ללא תלות בגובה הכדור.
(2) גודל התאוצה של הכדור בנקודה P שווה לגודל התאוצה שלו בנקודה Q, וגם כיוונה זהה בשתי הנקודות.
נימוק: הכדור נמצא לאורך כל תנועתו באוויר בהשפעת כוח הכובד בלבד - כוח קבוע בגודלו ובכיוונו (כלפי מטה). לכן התאוצה זהה בכל נקודה על המסלול, כולל ב-P וב-Q כאחד: גודלה \( g \), כיוונה כלפי מטה.
ג. הוכחה שהכדור נכנס לשער
נתון: \( v_0=11.5\ \mathrm{m/s} \), \( \alpha=55^\circ \), \( d=11\ \mathrm{m} \), גובה השער \( h=2.44\ \mathrm{m} \). מפרקים למהירויות רכיבים:
$$ v_{0x}=v_0\cos\alpha = 11.5\cos55^\circ \approx 6.60\ \mathrm{m/s} $$
$$ v_{0y}=v_0\sin\alpha = 11.5\sin55^\circ \approx 9.42\ \mathrm{m/s} $$
הזמן שבו הכדור מגיע לקו השער (\( x=d \)):
$$ t = \frac{d}{v_{0x}} = \frac{11}{6.60} \approx 1.67\ \mathrm{s} $$
גובה הכדור באותו רגע:
$$ y = v_{0y}t - \tfrac12 g t^2 \approx 9.42\times1.67 - 5\times1.67^2 \approx 1.80\ \mathrm{m} $$
מכיוון ש-\( 1.80\ \mathrm{m} < 2.44\ \mathrm{m} \) (גובה השער), הכדור אכן נכנס לתוך השער, מתחת לרף.
ד. שחקן אחר, מרחק וזווית זהים, מהירות התחלתית גדולה יותר
לא, הכדור לא בהכרח נכנס לשער - ולמעשה, אם המהירות ההתחלתית גדולה מספיק, הכדור בהכרח יעבור מעל לרף השער, החוצה.
נימוק: משוואת מסלול הכדור היא \( y(x) = x\tan\alpha - \dfrac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} \). האיבר השני, זה שמבטא את "משיכת" כוח הכובד כלפי מטה, קטן ביחס הפוך לריבוע \( v_0 \) - ככל ש-\( v_0 \) גדל, האיבר הזה כמעט נעלם. במילים אחרות: ככל שהמהירות ההתחלתית גדולה יותר, לכוח הכובד יש פחות זמן "למשוך" את הכדור כלפי מטה עד שהוא מגיע לקו השער - כך שמסלולו קרוב יותר ויותר לקו ישר, בזווית הבעיטה המקורית (\( 55^\circ \)), כמעט ללא התכופפות כלפי מטה.
אם הכדור היה ממשיך בקו ישר בזווית \( 55^\circ \) (במקום במסלול פרבולי) עד למרחק \( d=11\ \mathrm{m} \), גובהו שם היה:
$$ y_{line} = d\tan(55^\circ) \approx 11\times1.428 \approx 15.7\ \mathrm{m} $$
גובה זה גבוה בהרבה מגובה רף השער (\( 2.44\ \mathrm{m} \)). לכן, במהירויות התחלתיות גדולות מספיק, הכדור יעבור הרחק מעל לרף - ובוודאי שלא יכנס לשער. כלומר, מהירות התחלתית גדולה יותר אינה מבטיחה שהכדור יכנס לשער - להפך, מעבר לערך מסוים היא מבטיחה שהוא לא יכנס.