בגרות – תרשים עקבות

שתי מכוניות, א' ו-ב', נסעו על כביש ישר. ברגע \( t=0 \) שתי המכוניות היו בנקודה \( x=0 \). גרפי המהירות שלהן, מרגע \( t=0 \) ועד רגע \( t=10\ \mathrm{s} \), הם קווים ישרים: מהירות א' יורדת מ-\( 12\ \mathrm{m/s} \) ל-\( 8\ \mathrm{m/s} \), ומהירות ב' עולה מ-0 ל-\( 8\ \mathrm{m/s} \). הכיוון ימינה מוגדר חיובי.

א. תאוצת שתי המכוניות בתחום \( 0

מכונית א':

$$ a_{A'} = \frac{8-12}{10} = -0.4\ \mathrm{m/s^2} $$

גודל \( 0.4\ \mathrm{m/s^2} \), בכיוון השלילי (מאטה).

מכונית ב':

$$ a_{B'} = \frac{8-0}{10} = 0.8\ \mathrm{m/s^2} $$

גודל \( 0.8\ \mathrm{m/s^2} \), בכיוון החיובי (מאיצה).

ב. מצב הרגע t=10s

(1) בשתי המכוניות \( v=8\ \mathrm{m/s} \) ברגע \( t=10\ \mathrm{s} \) - שני הערכים חיוביים, ולכן שתי המכוניות נעות באותו כיוון.

(2) המרחק שעברה כל מכונית שווה לשטח מתחת לגרף המהירות שלה. עבור מכונית א' (טרפז בין \( v=12 \) ל-\( v=8 \)):

$$ x_{A'}(10) = \frac{12+8}{2}\times10 = 100\ \mathrm{m} $$

עבור מכונית ב' (משולש בין \( v=0 \) ל-\( v=8 \)):

$$ x_{B'}(10) = \frac{0+8}{2}\times10 = 40\ \mathrm{m} $$

לכן המרחק של מכונית א' מהנקודה \( x=0 \) גדול מהמרחק של מכונית ב'.

ג. תחנת האוטובוס

לאחר \( t=10\ \mathrm{s} \) ממשיכה מכונית א' באותה תאוצה (\( -0.4\ \mathrm{m/s^2} \)) מ-\( v=8\ \mathrm{m/s} \) עד לעצירה:

$$ 0 = 8-0.4\Delta t \quad\Rightarrow\quad \Delta t = 20\ \mathrm{s} $$

המרחק הנוסף שעברה בשלב זה:

$$ \Delta x = \frac{8+0}{2}\times20 = 80\ \mathrm{m} $$

(1) מרחק תחנת האוטובוס מהנקודה \( x=0 \):

$$ 100+80 = 180\ \mathrm{m} $$

(2) משך הזמן הכולל מרגע \( t=0 \) עד ההגעה לתחנה:

$$ 10+20 = 30\ \mathrm{s} $$

ד. הפרש הזמן בין עצירת שתי המכוניות

ברגע \( t=10\ \mathrm{s} \) מכונית ב' נמצאת ב-\( x=40\ \mathrm{m} \) ונעה במהירות \( 8\ \mathrm{m/s} \). עליה לעבור עוד \( 180-40=140\ \mathrm{m} \) עד לתחנה, תוך האטה מ-\( 8\ \mathrm{m/s} \) ל-0. משך זמן שלב זה:

$$ \Delta t = \frac{140}{(8+0)/2} = 35\ \mathrm{s} $$

מכונית ב' נעצרת אפוא ברגע \( t=10+35=45\ \mathrm{s} \). מכונית א' נעצרה ב-\( t=30\ \mathrm{s} \), ולכן ההפרש בין העצירות הוא:

$$ 45-30 = 15\ \mathrm{s} $$

ה. תרשים העקבות של מכונית ב'

מכונית ב' יוצאת ממנוחה ומאיצה במשך 10 השניות הראשונות (עד 40 מ' מתוך 180 מ' הכביש - כ-22% מהמרחק), ולכן טיפות הצבע בשלב זה יהיו קרובות מאוד זו לזו בתחילת המסלול ויתרחקו זו מזו במהירות. לאחר מכן, במשך יתר המסלול (35 שניות, כ-78% מהמרחק), מכונית ב' מאטה בהדרגה עד לעצירה מוחלטת בתחנה, כך שהמרווחים בין הטיפות הולכים ומצטמצמים בהדרגה עד לצפיפות מרבית ממש בתחנת האוטובוס. תרשים העקבות המתאים ביותר הוא זה שמראה טיפות צפופות מאוד בקצה ההתחלה, התרחקות מהירה לרווח מרבי בשלב מוקדם יחסית, ולאחריה צמצום הדרגתי וממושך של הרווחים עד לצפיפות מרבית בקצה הסופי (תחנת האוטובוס) - איור 4.