בגרות – שתי סירות

הגרף מתאר את מקומן של שתי סירות, א' ו-ב', כפונקציה של הזמן, כשהן נעות במסלולים ישרים מקבילים. שתי הסירות יוצאות מ-\( x=0 \) ברגע \( t=0 \), ולאחר \( 230\ \mathrm{s} \) שתיהן מגיעות ל-\( x=4\ \mathrm{km} \). מהגרף: מ-\( t=150\ \mathrm{s} \) עד \( t=230\ \mathrm{s} \) סירה ב' נעה בתאוצה קבועה.

א. הגדרת "מהירות ממוצעת"

מהירות ממוצעת מוגדרת כהעתק הכולל של הגוף, חלקי הזמן הכולל שחלף:

$$ \bar v = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$

היא תלויה רק בנקודת ההתחלה ובנקודת הסיום ובזמן הכולל - ולא בפרטי התנועה בדרך (המסלול המדויק, קטעי ההאצה וההאטה וכדומה).

ב. השוואת המהירויות הממוצעות של שתי הסירות

שתי הסירות יוצאות מאותה נקודה (\( x=0 \)) באותו רגע, ולאחר אותו פרק זמן (\( 230\ \mathrm{s} \)) שתיהן מגיעות לאותה נקודה (\( x=4\ \mathrm{km} \)). מכיוון שהמהירות הממוצעת תלויה רק בהעתק הכולל ובזמן הכולל - שזהים עבור שתי הסירות - המהירות הממוצעת של סירה א' שווה למהירות הממוצעת של סירה ב', למרות שהמסלולים שלהן (הגרפים) שונים לגמרי בדרך.

ג. סימן התאוצה של סירה ב'

מהרגע \( t=150\ \mathrm{s} \) עד \( t=230\ \mathrm{s} \) גרף המקום-זמן של סירה ב' מעוקל כלפי מטה (משתטח בהדרגה) - כלומר השיפוע שלו, שהוא המהירות, הולך וקטן. לכן תאוצת סירה ב' באותו קטע שלילית.

ד. גודל תאוצת סירה ב' החל מהרגע t=150s

עד \( t=150\ \mathrm{s} \) סירה ב' נעה בקו ישר ממקום \( x=0 \) למקום \( x=3\ \mathrm{km} \), כלומר במהירות קבועה:

$$ v_0 = \frac{3000\ \mathrm{m}}{150\ \mathrm{s}} = 20\ \mathrm{m/s} $$

זוהי גם מהירותה של סירה ב' בכניסה לקטע התאוצה הקבועה, ב-\( t=150\ \mathrm{s} \). באותו קטע (\( \Delta t = 230-150=80\ \mathrm{s} \)) היא עוברת מ-\( x=3\ \mathrm{km} \) ל-\( x=4\ \mathrm{km} \), כלומר \( \Delta x = 1000\ \mathrm{m} \). מציבים בנוסחת המיקום עם תאוצה קבועה:

$$ 1000 = 20\times80 + \tfrac12 a\times80^2 $$

$$ 1000 = 1600 + 3200a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1000-1600}{3200} = -0.1875\ \mathrm{m/s^2} $$

גודל התאוצה הוא כ-\( 0.19\ \mathrm{m/s^2} \) (שלילית, כפי שנקבע בסעיף ג').

ה. גרף המהירות של סירה ב'

מ-\( t=0 \) עד \( t=150\ \mathrm{s} \): קו ישר אופקי בגובה \( v=20\ \mathrm{m/s} \) (מהירות קבועה).

מ-\( t=150\ \mathrm{s} \) עד \( t=230\ \mathrm{s} \): קו ישר יורד (תאוצה קבועה ושלילית), מ-\( 20\ \mathrm{m/s} \) עד למהירות הסופית:

$$ v(230) = v_0+a\Delta t = 20+(-0.1875)\times80 = 5\ \mathrm{m/s} $$

המהירות הסופית שאליה מגיעה סירה ב' בתום 230 השניות היא \( 5\ \mathrm{m/s} \).