בגרות – טבלת מיקום זמן

תלמיד מדד את מקומו של גוף הנע על קו ישר במרווחי זמן קבועים של \( 0.02\ \mathrm{s} \). ציר המקום \( x \) הוגדר בכיוון תנועת הגוף, וראשיתו במקום הימצאו של הגוף ברגע \( t=0 \) (כך ש-\( x(0)=0 \)). תוצאות המדידה:

א. האם מהירות הגוף גדלה, קטנה, או אינה משתנה

ההפרשים בין מיקומים עוקבים (כל הפרש מייצג את המרחק שעבר הגוף באותו פרק זמן קבוע של \( 0.02\ \mathrm{s} \)) הולכים וגדלים לאורך הטבלה: \( 1.68,\ 2.16,\ 2.64,\ 3.12,\ 3.6,\dots \) ס"מ. מכיוון שבפרקי זמן שווים הגוף עובר מרחקים גדלים והולכים, מהירותו גדלה עם הזמן. גם הגרף (מקום כפונקציה של הזמן) תומך במסקנה זו: הוא נעשה תלול יותר ויותר ככל שמתקדמים בזמן.

ב. מהירות הגוף ברגע t=0.02s

אין מדידה ישירה של המהירות ברגע נתון, אך אפשר להעריך אותה מהמיקומים הסמוכים - לפני הרגע ואחריו - ולחשב את המהירות הממוצעת ביניהם, שמקרבת את המהירות הרגעית באמצע הקטע. לרגע \( t=0.02\ \mathrm{s} \) המיקומים הסמוכים הם \( x(0)=0 \) ו-\( x(0.04)=2.88\ \mathrm{cm} \):

$$ v(0.02) \approx \frac{x(0.04)-x(0)}{0.04-0} = \frac{2.88\ \mathrm{cm}}{0.04\ \mathrm{s}} = 72\ \mathrm{cm/s} = 0.72\ \mathrm{m/s} $$

ג. טבלת מהירויות נוספות

באותה שיטה - מיקומים סמוכים לפני ואחרי הרגע המבוקש - מחשבים גם את שאר המהירויות:

$$ v(0.08) = \frac{x(0.10)-x(0.06)}{0.04} = \frac{10.8-5.04}{0.04} = 144\ \mathrm{cm/s} = 1.44\ \mathrm{m/s} $$

$$ v(0.14) = \frac{x(0.16)-x(0.12)}{0.04} = \frac{23.04-14.4}{0.04} = 216\ \mathrm{cm/s} = 2.16\ \mathrm{m/s} $$

$$ v(0.20) = \frac{x(0.22)-x(0.18)}{0.04} = \frac{39.60-28.08}{0.04} = 288\ \mathrm{cm/s} = 2.88\ \mathrm{m/s} $$

ד. גרף המהירות כפונקציה של הזמן

ארבע הנקודות שבטבלה (\( 0.02,\ 0.72 \)), (\( 0.08,\ 1.44 \)), (\( 0.14,\ 2.16 \)), (\( 0.20,\ 2.88 \)) - יחדיו יוצרות קו ישר עולה: בכל צעד של \( 0.06\ \mathrm{s} \) המהירות גדלה באותו הפרש קבוע של \( 0.72\ \mathrm{m/s} \).

ה. האם התאוצה קבועה

בודקים את קצב השינוי של המהירות בין כל שתי נקודות עוקבות בטבלה:

$$ \frac{1.44-0.72}{0.08-0.02} = \frac{2.16-1.44}{0.14-0.08} = \frac{2.88-2.16}{0.20-0.14} = \frac{0.72}{0.06} = 12\ \mathrm{m/s^2} $$

קצב השינוי זהה בכל הקטעים, ולכן התאוצה קבועה, וגודלה \( 12\ \mathrm{m/s^2} \).

ו. השפעת היפוך כיוון ציר המקום על סימן התאוצה

כן, סימן התאוצה היה משתנה. היפוך כיוון ציר \( x \) הופך את הסימן של כל גודל וקטורי הנמדד לאורכו - המיקום, המהירות, וגם התאוצה (שהיא נגזרת שנייה של המיקום). מכיוון שבכיוון המקורי הגוף מאיץ (מהירותו ותאוצתו באותו כיוון), הפיכת ציר המקום הייתה הופכת גם את סימן המהירות וגם את סימן התאוצה יחד, כך שהתאוצה הייתה יוצאת שלילית במקום חיובית (או להפך).